Les cartes à points

Notre approche des nombres et de la numération prend résolument appui sur la conviction que leur maîtrise par l’élève n’est possible que si celui-ci dispose d’images mentales efficaces. Avant de développer ce point de vue, commençons par examiner les activités numériques, proposées aux élèves à l’école maternelle, qui permettent à beaucoup d’entre eux de disposer déjà de certains savoirs et savoir-faire sur lesquels vont s’ancrer les nouveaux apprentissages

A l’école maternelle, c’est-à-dire au cycle 1 et au début du cycle 2, les élèves ont de nombreuses occasions de rencontrer et d’utiliser les nombres mais aucun travail systématique, au plan formel et abstrait, n’est conduit, conformément au programme. Il s’agit, grâce à des activités variées où le nombre apparaît comme un outil apportant des solutions aux questions qu’ils se posent, d’aider les élèves à percevoir trois fonctions principales du nombre à ce niveau : recevoir, comprendre et transmettre des informations ; mémoriser une quantité ou un rang ; déduire des informations, prévoir et anticiper.

1. Le nombre permet de recevoir, de comprendre et de transmettre des informations. Il joue donc un rôle important dans l’ensemble des systèmes de communication que l’enfant se construit. Dans le cadre de cette fonction, les nombres sont d’abord des codes :

Peu à peu, ils acquièrent une dimension plus mathématique, en interaction avec les autres fonctions du nombre.

A ce niveau apparaît la nécessité pour les élèves d’associer les codes oraux et les codes écrits. Un effort important de mémorisation leur est alors demandé et il est nécessaire de rester extrêmement vigilant dans cette phase . Dans le développement du jeune enfant, l’apprentissage de ces codes respecte en général l’ordre suivant :

- L’enfant utilise une suite de mots-nombres (la « comptine numérique ») et la mémorise peu à peu sous une forme stable, c’est-à-dire qu’il la restitue à l’identique à chaque récitation. A la fin de l’école maternelle, cette suite peut être d’une longueur importante (souvent jusqu’à trente et au-delà) ;

- Il reconnaît et mémorise certains codes écrits, vus à diverses occasions (numéros de maisons, dates, lignes de métro ou de bus, etc.) ;

- Il associe les mots et les signes d’une manière systématique, c’est–à-dire qu’il sait le nom du chiffre écrit et qu’il sait écrire, avec un ou des chiffres, le nombre donné oralement.

Cette dernière acquisition est assez longue et souvent délicate pour un bon nombre d’élèves, dès lors que les nombres dépassent la dizaine. C’est pour cela qu’une pratique largement répandue et efficace est l’utilisation de la bande numérique :

Il s’agit d’une suite de cases commençant à 1 (0 ne sert pas à dénombrer) et pouvant aller jusqu’à 30 au moins. En pointant chaque case tout en récitant simultanément les mots-nombres, l’élève associe automatiquement l’écriture chiffrée et le code oral. En cas de mémorisation incomplète de la correspondance entre le nombre écrit en chiffre et sa désignation orale, il dispose ainsi d’un moyen simple et rapide pour retrouver lui-même cette correspondance.

2. Le nombre permet de mémoriser une quantité ou un rang dans une liste ordonnée. Deux aspects du nombre apparaissent à cette occasion : l’aspect cardinal et l’aspect ordinal.

- L’aspect cardinal : le nombre fait référence à une quantité[1], c’est-à-dire à un nombre d’éléments d’une collection. Deux cas sont possibles pour un jeune élève : soit il reconnaît directement la quantité par observation visuelle (c’est généralement le cas pour les petites quantités - un, deux, trois objets - et pour des quantités un peu plus grandes si elles sont organisées -quatre, cinq, six objets), soit il effectue un comptage des objets. Le comptage consiste donc à associer un mot à chaque objet en le pointant correctement, puis à désigner la quantité par le dernier mot prononcé. On comprend que de nombreuses activités sont nécessaires pour cette acquisition et que le comptage joue un rôle important à l’école maternelle, conforté par des pratiques sociales fréquentes (dans l’entourage familial, l’enfant compte).

- L’aspect ordinal : le nombre apparaît aussi pour désigner une position[2] dans une liste ordonnée (« à la course, je suis le quatrième » ; « je montre au sixième étage » ; « quand trois poules vont au champ, la première va devant… » ). Cet aspect ordinal apparaît déjà dans la suite des mots-nombres récités dans un ordre précis et plus généralement, dans les déplacements sur des pistes numériques (par exemple au jeu de l’oie : si mon pion est sur la case 21, il s’agit du numéro 21, c’est–à-dire de la 21ème case depuis la case départ n°1 ; la bande numérique en est un exemple épuré). En outre, on comprend aisément que cet aspect ordinal va faciliter la comparaison des nombres : 14 est plus petit que 18 parce qu’il vient avant 18 dans la suite ordonnée des nombres.

L’un des enjeux des apprentissages numériques du début du cycle 2 est de mettre en relation ces deux aspects du nombre, ce qui est loin d’être simple pour les élèves. Un moment important est la compréhension que le nombre suivant (aspect ordinal), c’est « un de plus » (aspect cardinal) que le nombre précédent.

3. Le nombre, grâce à sa fonction de mémoire d’une quantité ou d’une position, permet de déduire des informations inaccessibles dans l’espace (par exemple comparer les nombres d’objets de deux collections éloignées qu’on ne peut pas déplacer) ou dans le temps (par exemple, il s’agit de connaître le résultat d’un ajout non encore effectué sur une collection d’objets).

En d’autres termes, le nombre permet de prévoir et d’anticiper le résultat d’une action sur une quantité ou une position (réunion, augmentation ou diminution, etc.). Ce pouvoir d’anticipation des nombres est très important car c’est à cette occasion que les élèves se rendent compte qu’il est possible d’opérer sur les nombres, c’est-à-dire d’effectuer certaines actions pour obtenir des résultats encore inconnus.

Les actions sur les nombres que les enfants effectuent au long du cycle 1 et au début du cycle 2 sont, par ordre de difficulté croissante : le recomptage, le surcomptage et le calcul.

Par exemple, si un élève rassemble dans sa trousse une collection de 3 crayons rouges et une collection de 3 crayons bleus (qu’il a comptées préalablement), il peut connaître le nombre total de crayons par recomptage du tout :

Dans la même situation, l’élève part de la quantité connue de la première collection (trois) et poursuit sur la seconde :

A cette méthode du surcomptage correspond, si l’on prend la suite à rebours, le décomptage. Par exemple, si l’on sait qu’il y a normalement 25 élèves dans la classe et qu’il y a ce jour 3 absents, un enfant de grande section de maternelle peut procéder ainsi, par décomptage (souvent en s’aidant de la bande numérique) :

- le calcul. Si l’élève dispose de résultats mémorisés obtenus à la suite d’une longue fréquentation des petits nombres et d’une construction d’images mentales efficaces, il peut déclarer :

On perçoit facilement ici que le passage au calcul manifeste chez l’élève qui le pratique un niveau d’élaboration plus abstrait du concept de nombre. Ce passage ne peut être que progressif, mais il est indispensable. Cela ne peut se faire que si l’élève donne du sens aux nombres, ne se contente pas de voir un jeu sur des signes et s’est construit des représentations mentales numériques. L’un des enjeux du Cours Préparatoire est de permettre à chaque élève d’y accéder.

A l’école maternelle, l’approche du nombre se fait en recourant à des collections diverses d’objets. Ces objets sont déplacés, manipulés, regroupés et souvent comptés simultanément. Ainsi, l’enfant développe sa maîtrise des principes du comptage[3] et entre progressivement dans la structure cardinale du nombre.

Dans le même temps, le passage progressif et nécessaire à l’abstraction et à la modélisation, ainsi que le besoin de posséder des références mémorisables, conduisent à faire le choix de collections particulières censées représenter diverses collections équipotentes[4] : les doigts (d’une main ou des deux mains), les constellations des dés, les cartes ou les dominos en sont les principaux exemples. On touche là à des pratiques sociales fort utiles et efficaces mais qui ont cependant des limites pédagogiques.

Ces limites apparaissent surtout dans la relative pauvreté de la lisibilité des propriétés numériques qu’elle offrent. Par exemple, les constellations usuelles ont une organisation qui manque de cohérence. On ne s’en rend pas toujours compte, par le fait qu’elles font partie de l’environnement social et pédagogique :

Rien ne permet de déduire rapidement, par simple observation visuelle, une correspondance entre

Une première manière d’introduire un peu de cohérence est d’utiliser systématiquement le groupement par 5 comme le font beaucoup d’enseignants :

Cependant, les liens entre les configurations successives n’apparaissent pas nettement. Par exemple,

Une seconde manière d’apporter une cohérence est d’adopter une disposition linéaire. De ce fait, les constellations successives sont cohérentes entre elles. Cependant, la disposition visuelle n’est pas facilitée. Par exemple, il n’est pas simple de percevoir

Dans ces deux cas, on note que l’on peut extraire peu d’informations de la représentation numérique proposée. Par exemple : le nombre est il un double ? quel est son complément à 10 ? etc. Le même type de remarques vaut pour la représentation numérique utilisant les doigts.

Comme l’ont montré depuis longtemps Piaget et ses disciples, les structures numériques ne résultent pas des propriétés qui seraient dans les objets eux-mêmes et que l’on acquerrait par la manipulation de ces objets, mais sont, au contraire, le fruit des opérations que l’on conduit sur ces objets. C’est la raison pour laquelle il est souhaitable de disposer d’un outil pédagogique[5] qui offre de nombreuses possibilités d’opérations sur les objets qu’il contient afin de permettre une grande richesse de construction de structures numériques. Cet outil, sans exclure les autres pratiques déjà évoquées, doit devenir une pratique pédagogique de référence. Nous avons conçu un matériel, les cartes à points , qui répond à ces exigences. Une présentation détaillée de ce matériel est faite dans la dernière partie de ce texte.

Par les pratiques sociales suscitées, dont l’usage est récupéré par l’école, l’enfant se construit progressivement un ensemble de schèmes d’action. Citons-en quelques-uns :

- le schème du comptage (regroupement de plusieurs schèmes qui peuvent être distingués : correspondance mot-objet ; principe cardinal ;…) ;

- les schèmes additifs et soustractifs liés au surcomptage et au décomptage ;

- le schème de la comparaison des quantités : une collection de douze objets est plus grande qu’une collection de dix parce que « douze », c’est plus loin que « dix » dans la suite des mots-nombres.

Nul ne conteste l’importance de ces schèmes d’action dans les pratiques numériques des jeunes enfants. Cela leur donne un pouvoir opératoire réel sur les nombres et suffit parfois à satisfaire les enseignants. Mais le rôle du pédagogue est de voir au-delà, dans une perspective de développement intellectuel de l’enfant et de contraintes du cursus scolaire. Il apparaît alors la nécessité de dépasser ces schèmes d’action :

1. Dans un premier temps, il faut favoriser la construction de schèmes d’action qui ne mobilisent pas uniquement le comptage un à un. L’enfant doit pouvoir reconnaître une quantité, la décomposer, l’ajouter ou la retrancher à une autre sans recourir obligatoirement au comptage unité par unité ; il doit pouvoir percevoir instantanément dans une collection son caractère d’être un « double » ou un « non double[6] » ; ou bien d’être « un de plus » qu’une autre collection . Les cartes à points offrent cette possibilité. Sans entrer dans le détail de leur fonctionnement (voir plus loin) , citons par un exemple comment apparaît de deux manières la décomposition d’un nombre en deux nombres égaux :

2. Mais il ne faut pas oublier que les schèmes d’action sont liés à l’action et peuvent donc, si on ne favorise pas d’autres pratiques, constituer un obstacle vers une conceptualisation du nombre. A un certain niveau de construction, le nombre est un objet qu’il ne s’agit pas surtout de voir, mais de concevoir. Pour en revenir au discours piagétien, tous les schèmes correspondant aux actions les plus diverses sont peu à peu intériorisés et commencent à construire des systèmes. Mais ces systèmes sont construits sur le plan intellectuel grâce aux images mentales.

En rapport avec les schèmes d’action, on note donc l’importance de favoriser la construction de représentations mentales efficaces, c’est-à-dire permettant de « voir » le nombre, non comme un tout figé, mais sous différents visages. Les cartes à points sont un outil pédagogique très approprié pour ces objectifs.

Le jeune enfant (à la fin de l’école maternelle et au début du cycle 2) commence à calculer lorsqu’il quantifie[7] en se ramenant à des quantités connues, plutôt qu’en égrenant les objets un à un. Cela signifie qu’il devient capable de développer sa pensée logique en prenant une distance de plus en plus grande avec la réalité.

Se distancier de la réalité, ce n’est pas se couper d’elle (et donc opérer dans un monde formel et abstrait, sans consistance), c’est partir d’une réalité et disposer à partir d’elle d’images mentales de qualité. Quels peuvent être les outils favorisant la construction de ces images mentales ?

1. Les collections d’objets organisées appartenant aux pratiques sociales[8]. Nous avons vu leurs limites pédagogiques, puisqu’elles n’ont pas été conçues pour cela.

2. La bande numérique, très utilisée - et avec raison - à l’école maternelle et au cycle 2. On note qu’elle présente une approche principalement ordinale (liée à la succession des nombres) et peu cardinale (nécessaire pour la perception des quantités). Elle favorise des pratiques (surcomptage, décomptage) qui s’appuient sur le comptage un à un. Les rapports numériques s’expriment en termes de distance entre les nombres et non par inclusion et emboîtement. Le rôle de la dizaine n’est pas spécialement frappant même si on peut l’améliorer par des dispositions particulières. Enfin, on ne peut pas s’appuyer sur cet outil pour mettre en évidence les doubles et des décompositions des nombres (autres que 5 et 10, si on a mis ceux-ci en valeur sur la droite numérique). En résumé, la bande numérique ne suffit pas, à elle seule, à faire percevoir et comprendre les propriétés des nombres, particulièrement les premiers nombres (entre 0 et 20).

3. Les cartes à points. Elles favorisent l’approche cardinale des premiers nombres et permettent la construction d’images mentales stables intégrant une grande variété de propriétés de ces nombres (inclusion, décomposition, doubles et non doubles, rôle de 10,…). C‘est pour ces raisons que nous avons fait le choix d’en faire une pratique pédagogique de référence.

L'activité de représentation est liée à la fonction symbolique, c'est-à-dire à cette forme de l'activité humaine consistant à produire des symboles qui « valent pour » les objets concernés.

« Il y a activité de représentation lorsqu'un objet ou lorsque les éléments d'un ensemble d'objets se trouvent exprimés, traduits, figurés, sous la forme d'un nouvel ensemble d'éléments, et qu'une correspondance systématique se trouve réalisée entre l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée. » (M. Denis, 1989[9])

· Des représentations qui laissent des traces matérielles de type iconographique ou pictural, extérieures à l'individu qui les a produites. Ces signes existent depuis la nuit des temps et ont trouvé des formes très élaborées dans l’écriture et les chiffres. Notre société moderne regorge de ces symboles associés à une situation, une action, un organisme :

· Des représentations mentales de nature cognitive. La nature de ces représentations est développée dans les lignes suivantes.

Qu’elles soient matérielles ou mentales, les représentations ont diverses fonctions dont nous retiendrons principalement les suivantes :

· conserver l'information amenée à se détériorer et dont l'accès nous sera progressivement rendu difficile par la suite. C’est le rôle, par exemple, des photographies (familiales ou touristiques).

· rendre accessibles des informations qui ne le sont pas dans les conditions normales, « naturelles », de perception : c'est le cas, par exemple, des schémas de câblage d'un appareil électronique.

· expliciter de l'information: à ce titre elles sont susceptibles de remplacer les objets originaux pour effectuer certaines fonctions, principalement de nature cognitive.

Les activités cognitives sont régies par deux modes de représentation symbolique:

· un système de représentations mentales verbales ou propositionnelles lié au langage. Le langage naturel permet de représenter une grande variété de faits de nature différente et nous avons tous eu l’expérience de penser « en paroles ».

· un système de représentations mentales analogiques (c’est-à-dire figuratives et non discursives) lié à l'expérience perceptive de notre environnement. Elles conservent les propriétés structurales des objets représentés. Ce sont ces représentations que nous appellerons les images mentales.

Une image mentale est donc une forme spécifique de représentation mentale, de type analogique. « [L’image mentale], par les propriétés structurales qu’elle hérite de la perception, est un instrument cognitif permettant à l’individu d'effectuer des calculs, des simulations, des inférences, des comparaisons sans devoir recourir à des systèmes calculatoires formels » (M. Denis, 1989).

L’image mentale a les propriétés d’un modèle[10]. Les propriétés spatiales des objets sont conservées: forme, positions relatives des éléments, propriétés topologiques, caractère continu des déplacements et des transformations, distances. De plus, l’individu peut simuler des processus physiques s’appliquant aux objets perçus (par exemple, des déplacements spatiaux).

Le matériel de base des cartes à points est constitué des 11 grilles suivantes :

Ces cartes se présentent sous deux formes : une forme transparente et une forme cartonnée.

Pour permettre une étude de la numération, des cartes « dix » en nombre suffisant, sous forme cartonnée, ont été rajoutées.

En outre, afin de faciliter le calcul sur les premiers nombres, les cartes à points transparentes peuvent être disposées sur une table à calcul constituée de deux grilles accolées de 10 cases, la première étant encadrée en rouge.

Dans le processus de construction de représentations et d’images mentales numériques, les cartes à points jouent plusieurs rôles importants : codage et communication ; traitement des informations ; mise en évidence des propriétés des nombres ; aide à la mémorisation ; aide dans la construction de la numération.

1. Un rôle de codage et de communication des informations numériques. Une information numérique simple peut être codée sous la forme d’une carte à points et peut être ainsi facilement communiquée :

2. Un rôle de traitement des informations, offrant des possibilités d’illustration et d’explication visuelle, en passant du registre manipulatoire ou graphique au registre des symboles numériques conventionnels.

Le passage des opérations matérielles aux opérations mentales est ainsi facilité.

3. Un rôle de mise en évidence des propriétés des nombres favorisant chez les élèves une prise de conscience de ces propriétés (objectivation).

Les cartes à points, par les images mentales qu’elles permettent de construire, facilitent la récupération rapide et au moindre coût des résultats numériques stockés en mémoire à long terme.

Il devient en effet possible de représenter facilement un nombre supérieur à 10 en mettant en évidence les dizaines, c’est-à-dire en incitant les élèves à dénombrer non plus seulement unité par unité, mais aussi en utilisant une nouvelle « unité de compte » : la dizaine.

Cette perception des groupements est à la base de notre système de numération écrite et lui donne du sens :

[1] Dans cette situation, ce nombre caractérise un état-grandeur

[2] Dans cette situation, ce nombre caractérise un état-position.

[3] Il existe cinq principes fondamentaux du comptage. Nous indiquerons ici les trois principaux :

1. le principe de suite stable selon lequel les mots-nombres doivent être donnés dans le même ordre à chaque comptage,

2. le principe de correspondance terme à terme selon lequel chaque élément d’une collection doit être désigné par un mot-nombre et un seul,

3. le principe cardinal selon lequel le mot-nombre utilisé pour désigner le dernier élément d’une collection représente le nombre total d’éléments.

[4] On dit que deux collections sont équipotentes si leurs éléments peuvent être mis en correspondance terme à terme, de telle sorte qu’on peut dire qu’il y en a autant dans l’une que dans l’autre.

[5] Un outil pédagogique est un dispositif construit à des fins d’apprentissage, ce qui signifie que ses principales qualités sont sa possibilité d’évolution et sa richesse d’aides diverses pour les élèves.

[6] Dans certains cas, nous parlerons de presque double

[7] Quantifier, c’est associer une quantité à une collection, c’est-à-dire, d’une certaine manière la mesurer. Si l’enfant voit dans une collection une réunion de 4 objets et de 2 objets et qu’il en déduit immédiatement que le tout comporte 6 objets, il a quantifié cette collection sans compter les objets un à un.

[8] Ces pratiques sociales ont été indiquées précédemment. Rappelons-les : usage des constellations des dés, des dominos, des cartes ; comptage avec les doigts.

[9] Denis M. Image et cognition Paris PUF

[10] En première approximation, nous appellerons ici modèle une représentation figurative épurée, c’est-à-dire qui ne conserve que les propriétés essentielles , « modélisées », de l’objet considéré.

1. Les cartes à points, une nouvelle pratique pédagogique pour mieux construire les nombres

Tous les collègues qui auraient utilisé les cartes à points et qui souhaiteraient faire part de leurs travaux sont les bienvenus et sont accueillis sur cette page. Il suffit de me transmettre le travail effectué et je mettrai en ligne.

Le travail de Michèle Thénot (mis à jour en février 2004) peut être directement téléchargé en cliquant ici (clic gauche de la souris) . Attention! Il est nécessaire de disposer de Winzip et de la version Publisher 2000 ou d'une version postérieure.

Si vous n'avez pas la possibilité de télécharger, vous pouvez visualiser les différents éléments permettant de réaliser un dragon "bande numérique" en cliquant sur l'un des titres ci-dessous (clic gauche de la souris):

Image du dragon 1	Image du dragon 2	Image du dragon 3
Image du dragon 4	Image du dragon 5	Image du dragon 6