Solution des épreuves 2008-2009

 

1ère manche

2ème manche

3ème manche

Manche finale

 

PREMIERE MANCHE

1. Le carré de nombres.

La solution est :

Pour obtenir ce résultat, on peut constater qu'on a les égalités suivantes:

32 = 1 x 4 x 8

70 = 2 x 5 x 7

162 = 3 x 6 x 9

 

2. L'anniversaire de Cédric.

Cédric a 12 ans.

Cette réponse s'obtient facilement en additionnant les nombres entiers successifs jusqu'à une somme égale à 78.

Une méthode directe peut être celle-ci (inaccessible aux enfants).

1 + 2 + 3 + 4 + ....+ n = n(n+1)/2

Il s'agit donc de résoudre l'équation en nombres entiers n(n+1)/2 = 78, soit: n2 + n - 156 = 0. Cette équation du second degré a une seule solution entière positive: n = 12.

 

3. Les sirops.

La réponse est: 

 

4. Les cases coloriées.

On remplit les cases de proche en proche, à partir des informations données:

 

1

5

1

0

4

7

0

3

6

0

1

2

8

4

3

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Les étiquettes.

Il est utile de faire un premier calcul pour connaître le nombre maximum d'étiquettes qu'on peut éventuellement obtenir.

Chaque étiquette a 35 carreaux. Le rectangle entier a 408 carreaux. 408 = (11x35) + 23. On peut donc obtenir au maximum 11 étiquettes.

Cela ne prouve pas qu'on puisse les découper effectivement. Il faut le montrer par un tracé:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Cela fait bien 11 étiquette entières.

Il n'est pas simple de faire ce découpage. On a intérêt à "remplir" les côtés du rectangle en constatant:

17 = (2x5) + (1x7)

24 = (2 x 7) + (2x5)

 

6. Le cube.

La réponse est:

Une seule gommette

Deux gommettes

Trois gommettes

Pas de gommette

 

24

 

24

 

8

 

8

 

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DEUXIEME MANCHE

1. Pension pour chiens.

La réponse est : 1 basset, 1 caniche et 3 pékinois

2. Le H magique.

La réponse est:

  

 

 

La somme est égale à 12. Le nombre dans la case centrale est 4 et les nombres situés sur les deux barres verticales du H peuvent être déplacés pourvu que la somme reste égale à 12.

Une démonstration (inaccessible aux élèves) est la suivante:

 

 

 

 

a + b + c + d + e + f + x = 28

Si on appelle S la somme commune à la ligne, les deux colonnes et les diagonales, on a:

a + b + c = S  (1)     b + x + e = S (3)

d + e + f = S  (2)      a + x + f = S  (4)      c + x + d = S (5)

En utilisant 3, 4 et 5, on obtient: 28 + 2x = 3S

En outre, la première égalité écrite donne: 2S + x = 28

On obtient ainsi un système de deux équations à deux inconnues qui se résout facilement: x = 4 et S = 12.

3. Le message codé.

La réponse est:

JOYEUX ANNIVERSAIRE

4. A chacune son habitation.

Réponse:

 

Réponse :

Floriane

Loïse

Julie

Aurélie

Villa

 

 

 

X

Hôtel

X

 

 

 

Ferme

 

 

X

 

Appartement

 

X

 

 

 

5. Partage des carrés.

Il s'agit ici de faire le constat que toute droite qui passe par le centre du carré (point d'intersection des diagonales) le partage en deux parties superposables.

Par conséquent, la droite qui passe par les centres des deux carrés partage chacun d'eux en deux parties égales:

 

 

 

 

 

6. Le triangle équilatéral.

Réponse:

 

 

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TROISIEME MANCHE

1. Jeu de nombres.

Les solutions sont rassemblées sur le tableau suivant:

Numéros des solutions

Nombres à quatre chiffres

1

 

1802

2

 

2711

3

 

3620

4

 

5439

5

 

6348

6

7257

 

7

8166

 

8

9075

 

Le raisonnement pour les obtenir toutes peut être le suivant (il n'est évidemment pas attendu des élèves):

abcd est un nombre à 4 chiffres, a étant différent de 0

abc + bcd = 982

On en déduit: c + d = 2 ou c + d = 12 et on envisage les différents cas.

1er cas: c = 0, d = 2. Dans ce cas, b = 8 et a = 1. C'est le nombre 1802.

2ème cas: c = 1, d = 1. Dans ce cas, b = 7 et a = 2. C'est le nombre 2711.

3ème cas: c = 2, d = 0. Dans ce cas, b = 6 et a = 3. C'est le nombre 3620.

4ème cas: c = 3, d = 9. Dans ce cas, b = 4 et a = 5. C'est le nombre 5439.

5ème cas: c = 4, d = 8. Dans ce cas, b = 3 et a = 6. C'est le nombre 6348.

6ème cas: c = 5, d = 7. Dans ce cas, b = 2 et a = 7. C'est le nombre 7257.

7ème cas: c = 6, d = 6. Dans ce cas, b = 1 et a = 8. C'est le nombre 8166.

8ème cas: c = 7, d = 5. Dans ce cas, b = 0 et a = 9. C'est le nombre 9075.

9ème cas: c = 8, d = 4. Dans ce cas, c'est impossible.

10ème cas: c = 9, d = 3. Dans ce cas, b = 8 et a = 0. C'est donc impossible.

 

2. Les pirates.

50 pirates n'ont qu'un bandeau sur l'oeil. Pour résoudre ce problème, le plus simple est de faire une représentation ensembliste:

 

A est l'ensemble des pirates qui ont une jambe de bois, B est l'ensemble des pirates qui ont un crochet et C est l'ensemble des pirates qui ont un bandeau sur l'oeil.

Compte tenu des informations données, on peut placer les nombres 12, 4, 70 et 93.

127- (12 + 4 + 93) = 18      18 pirates ont seulement une jambe de bois et un bandeau sur l'oeil.

97 - (70 + 12 + 4) = 11       11 pirates ont seulement un crochet et un bandeau sur l'oeil.

83 - (18 + 4 + 11) = 50     50 pirates ont seulement un bandeau sur l'oeil.

 

3. Le voleur de pommes.

Danièle et Fabienne ne peuvent pas s'être trompées complètement car, si c'était le cas pour l'une, l'autre se serait trompée sur deux points et non pas sur un seul.

Si Charly s'est trompé complètement, alors les informations vraies sont les suivantes:

Grand

Petit

Blond

Brun

Chemise rouge

T-shirt blanc

Short

Jean

 

 x

 

 

 

 x

 

 x

Dans ce cas, Danièle, Elie et Fabienne ne se sont trompés que sur un point.

Pour Danièle, l'information fausse est que le voleur est blond. Donc il est brun.

Mais alors, pour Elie, tout serait exact.

On en déduit que l'hypothèse selon laquelle Charly s'est trompé complètement est fausse.

La conséquence est que c'est Elie qui s'est trompé complètement. Charly, Danièle et Fabienne ne se son trompés que sur un point.

Il en résulte le tableau:

Grand

Petit

Blond

Brun

Chemise rouge

T-shirt blanc

Short

Jean

x

 

x

 

x

 

 

x

 

4. Les voitures.

Il y a plusieurs possibilités. Une solution est:

5. Pavages de figures.

Réponse:

 

6. Symétrie.

En choisissant bien l'axe de symétrie, on peut noircir seulement 3 carrés (coloriés ici en rouge):

Remarque. La difficulté pour les élèves est de percevoir un axe de symétrie oblique ou bien d'orienter la figure autrement.

 

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MANCHE FINALE

  1. Déplacement sur un quadrillage. 

Réponse :  20‑9‑35‑12‑16‑24‑25‑15‑36‑21‑30

Une démarche réfléchie peut être la suivante.

Tout d'abord, les cases qui ne peuvent pas être atteintes sont celles qui ont les nombres: 18 (parce qu'on ne peut pas avancer vers le haut), 14 (pas multiple de 3, 4 ou 5), 38 (pas multiple de 3, 4 ou 5)  et 8 (parce qu'on ne peut pas avancer vers le bas).

Il en résulte que le début est nécessairement: 20-9-35-12.

Si on continue vers le haut, on tombe sur 18 qui est une impasse. La suite est donc: 16-24. Avec ces deux nombres, on peut faire une boucle 16-24, ce qui est sans intérêt.

On continue donc vers la bas: 25-15. Si on continue vers le haut, on tombe sur 38 qui est une impasse. Donc: 36-21-30

C'est le seul chemin possible si on évite l'aller et retour 24-16-24.

 

2. La grenouille Géraldine. 

(7x5)+4 = 39

La marguerite a 39 pétales.

 

3. Les familles.

Annie est la fille d'Yves et n'est pas la fille de Catherine.

Par conséquent, Catherine n'est pas la mère d'Annie. On en déduit qu'elle est l'épouse de Patrick.

Alain n'est pas le père d'Annie (c'est Yves) donc Alain est l'époux de Muriel. Le seul couple restant est formé de Yves et de Michèle. Yves est l'époux de Michèle.

Comme Muriel n'est pas la mère d'Annie (c'est Michèle), elle est la mère de Guy.

On a bien trouvé que l'enfant de Michèle est Annie.

 

4. Grille à compléter.

La réponse est:

Une démarche peut être la suivante.

En prenant les nombres les plus simples sur le bord, on observera:

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 5 = 11

1 + 2 + 3 + 6 = 12

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

D'autre part: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39. C'est le plus grand nombre qu'on peut obtenir et c'est nécessairement avec ces nombres.

En complétant ces colonnes et ces lignes en respectant bien les consignes, il reste ensuite quelques nombres à trouver.

 

5. Figures superposables.

 Réponse:

                                         

On observera tout d'abord que chacune des parties doit comporter 24 cases.

 

6. Les cubes.

On observe les dispositions suivantes:

- en face du carré noir: disque noir;

- en face du carré blanc: disque blanc;

- en face de la croix blanche: croix noire.

Voici le patron du cube qui tient compte des trois vues :

 

7. Question complémentaire.

Réponse :

Pour un château de 5 niveaux, Mélissa doit utiliser 40 cartes.

Pour un château de 10 niveaux, Mélissa doit utiliser 155 cartes.

Pour un château de 12 niveaux, Mélissa doit utiliser 222 cartes.

Voici un raisonnement permettant d'obtenir une formule suivant le nombre n de niveaux (à réserver aux adultes).

Le début de la suite des nombres de cartes est:

0  2  7  15  26  40  57  77  100  126  155

On constate que l'écart entre deux nombres successifs augmente de 3 quand on  passe aux deux nombres suivants.

Si on appelle (un) la suite des nombres, on a donc:

u0 = 0

un+1 - un = 2 + 3n

On en déduit par des calculs assez simples la formule: un = n(3n + 1) /2 qui redonne bien les nombres donnés plus haut.

 

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