Maths et maîtrise de la langue

 

Diaporama n°1: les aspects généraux

Diaporama n°2: la langue et les Mathématiques

 

Les textes officiels.  Des compléments d'information Des exemples d’activités.  Poésie et mathématique

 

 Les textes officiels.

 

A. Extrait du document d’accompagnement : 

Lire et écrire au cycle 3  

CNDP Octobre 2003

 

Des sources de difficulté des textes à lire – indications de travail

Difficultés dans la lecture des consignes.

 

La difficulté essentielle tient à la nécessaire distinction entre l’activité qui matérialise la réponse (copier, barrer, entourer, encadrer, etc.) et qui est en général définie par le verbe, et la tâche à effectuer, avec l’(les) opération(s) mentale(s) qu’elle requiert.

Il arrive parfois que les deux soient confondues (« Dessine un losange sur ton cahier. Trace ses diagonales. “Vérifie” qu’elles se coupent en leur milieu et qu’elles sont perpendiculaires »).

Une même activité-réponse (souligner, compléter,etc.) peut correspondre à une opération intellectuelle de complexité très variable : sélectionner des informations, mettre en relation, appliquer une procédure clairement énoncée, déduire, etc. Une absence de réponse ou une réponse erronée peuvent signifier une incompréhension de la consigne ou une incapacité à mener à bien l’opération demandée (problème de connaissance et/ou de maîtrise de la procédure).

Apprendre à lire des consignes, c’est donc apprendre à décoder ce système complexe d’attentes, à prendre des repères dans la situation scolaire, à s’interroger sur les savoirs et savoir-faire à mobiliser et sur ce qu’il convient d’effectuer pour réaliser ce qui est demandé.

Les élèves ont à construire une attitude active par rapport à la compréhension des consignes. Pour les conduire à l’autonomie dans ce domaine :

 

– on veillera à ce qu’ils identifient bien le statut particulier de cette forme d’injonction, y compris à l’oral. On distinguera son énoncé des autres propos (en captant l’attention de manière particulière, avec quelques rituels parfois pour établir l’écoute). On fera régulièrement reformuler la consigne. On demandera une mobilisation mentale sur ce que l’on va devoir faire et on fera expliciter (souvent, pas toujours) le travail à conduire. On complexifiera progressivement les consignes en variant les verbes, en présentant des tâches successives dans le même moment (mémorisation ou codage pour soi au brouillon) ;

 

– à l’écrit, on évitera de banaliser les consignes en produisant une sorte de glose orale sans égards réels pour ce qui est écrit: au contraire, on demandera une lecture silencieuse individuelle, une lecture à haute voix, des reformulations par les élèves. On insistera sur ce temps de compréhension préalable à l’entrée en activité, sur la planification de ce qu’il y a à faire, sur l’identification des savoirs et savoir-faire à mobiliser, et des outils dont on aura besoin (compas, règle, dictionnaire, manuel). Cette activité de guidage sera à certains moments collective et d’autres fois réservée aux élèves en difficulté. Elle sera systématique face à des consignes de forme nouvelle ou plus complexes qu’à l’habitude ; dans des situations plus ordinaires, on appellera l’attention sur leur lecture tout en en laissant la responsabilité à chaque élève (les élèves dyslexiques ont durablement besoin que les consignes leur soient lues) ;

 

– on habituera les élèves à revenir à la consigne en fin de réalisation d’un exercice pour vérifier qu’ils ont bien fait ce qui leur était demandé, tout ce qui leur était demandé ;

 

– dans la correction des travaux, on fera identifier les erreurs liées à une lecture incomplète ou à une incompréhension de la consigne.

Il s’agit là d’un travail continu qui s’inscrit dans les activités quotidiennes de la classe ; il ne s’agit bien sûr pas de faire des « leçons de consignes ».

Commentaires personnels

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bien identifier le statut particulier de cette forme d’injonction, à l’écrit et à l’oral. Faire reformuler et expliciter le travail à effectuer.

Ne pas superposer l’oral sur l’écrit

Ménager des étapes d’entrée dans l’activité : lecture silencieuse individuelle, lecture à haute voix, reformulations par les élèves.

Apprendre à l’élève à contrôler son travail par rapport à la consigne

 

 

Facteurs de difficulté

 

Éléments à considérer

 

Indications de travail

(certains passages sont soulignés par mes soins)

Présentation du travail

 

Familiarité de la présentation (mise en page, forme de l’exercice, etc.) ou non dans le domaine disciplinaire concerné. La présentation peut avoir un caractère puissamment inducteur : elle oriente l’attention en fonction des habitudes ; ce peut être un facteur de facilitation ou de perturbation.

Veiller à diversifier au maximum la forme des situations de travail, des exercices et des situations de réinvestissement à propos d’un même objet d’apprentissage.

 

Syntaxe de la consigne

 

– Forme de la consigne : phrase affirmative, injonctive (infinitif plus impersonnel que l’indicatif ou que l’impératif) ou question.

– Variété des modes énonciatifs dans un même exercice (passage de l’impératif à la 2ème personne du pluriel, à la 1ère  personne, etc.).

 

Utiliser la variété des formes de consignes en veillant, dans les reformulations orales qui en accompagnent la lecture, à établir régulièrement l’équivalence des formes.

 

– Longueur.

– Nombre de propositions de la phrase-consigne.

 

– La longueur peut être liée à l’explicitation de tâches intermédiaires et, en ce sens, facilitatrice. On peut accepter que les élèves marquent (cochent, barrent, surlignent, etc.) ce qui est déjà fait pour se repérer dans l’avancée de leur travail.

– Un texte de consigne dense et bref peut au contraire masquer des tâches intermédiaires, des étapes d’exécution nombreuses. Il faut apprendre aux élèves à les identifier.

 

– Modalités d’articulation des propositions quand il y en a plusieurs :

• juxtaposition, coordination, subordination;

• rôle de la ponctuation (les deux points signifient parfois « parce que », etc.).

– « Trace la perpendiculaire à la droite D qui passe par le point A » est une forme plus difficile que « Trace la droite qui passe par le point A et qui est perpendiculaire à la droite D ».

 

À l’oral ou à l’écrit, c’est par un travail de reformulation que passe la compréhension de la situation initiale et de la tâche.

Références (discipline, notion, savoir-faire, etc.) pour l’opération mentale à effectuer

 

– Référence explicite ou non à une notion, à un thème de travail (focalisation explicite ou non sur les connaissances à mobiliser).

– Contexte : période d’apprentissage ou période décalée ; indication ou non du domaine de référence. Un travail proposé en dehors de la période d’apprentissage spécifique est plus difficilement identifié.

 

Il est intéressant de faire examiner les rapports entre les exercices et les leçons. La création par les élèves de consignes à soumettre à leurs pairs est un bon moyen de mobiliser l’attention sur ce type de rapport.

 

Nature du verbe précisant l’action à effectuer

 

– Verbe indiquant un tâche matérielle :

• pas d’ambiguïté ou ambiguïté possible.

Exemple : « encadrer » n’a pas le même sens en mathématiques (encadrer un nombre par deux autres nombres) qu’en grammaire (encadrer le sujet) ;

• familiarité plus ou moins grande dans le contexte scolaire.

Exemple: «Relever» a un sens particulier différent du sens le plus courant dans la vie quotidienne.

– Verbe ne précisant pas la tâche matérielle explicitement (dans ce cas, le plus souvent la tâche est « abstraite», l’activité complexe (justifier, expliquer, etc.).

Exemple: « Enrichis les phrases suivantes par des groupes de mots en utilisant les virgules:

 – Zidane a marqué deux buts.

– Aimé Jacquet savoure sa victoire. – etc. »

(Bühler Viviane et alii, Les Couleurs du

français, Paris, Hachette Éducation, 1999).

 

 

On peut:

faire constituer un glossaire des verbes rencontrés dans des consignes avec des définitions d’activités et des exemples de résolution (avec réussites et erreurs) ;

– travailler sur les emboîtements de consignes (pour justifier par exemple, il faut souvent relever des preuves ou des citations à l’appui).

 

Difficultés dans la lecture des énoncés de problèmes mathématiques

 

La résolution de problèmes a une place privilégiée dans l’apprentissage des mathématiques à l’école (voir programmes et documents d’application). Si tous les problèmes ne sont pas présentés sous la forme d’un texte, il est cependant important pour les élèves d’apprendre à lire les énoncés avec leurs spécificités.

La compréhension de ces textes particuliers est une première étape nécessaire à la construction d’une représentation mentale de la situation mathématique.

C’est cette représentation qui permet la réalisation des calculs ou la mobilisation des procédures exigées par la résolution. Nombre des erreurs de résolution sont en fait liées :

– à des représentations sémantiques erronées, parfois induites par la polysémie de termes dont les élèves ne retiennent pas le sens particulier en mathématiques; c’est la compréhension des données qui fait alors difficulté (le « sommet » d’un triangle en géométrie n’est pas nécessairement « en haut », or « sommet » évoque le « haut ») ;

Les énoncés des problèmes arithmétiques sont nécessairement lacunaires puisque le choix de l’opération – véritable enjeu de la résolution – est lié à l’identification des relations entre les données et que ces relations ne sont pas totalement explicitées par le texte.

Il est particulièrement important que, tout au long du cycle 3, les élèves soient confrontés aux énoncés sans la médiation d’une première lecture par le maître (sauf pour les enfants dyslexiques), qu’ils apprennent à naviguer entre données et questions, à

passer du texte à d’autres formes de (re)présentations des données (tableau, schéma, graphique, etc.), à interroger leurs acquis pour ajuster des réponses, à mobiliser leurs connaissances du monde pour se représenter les situations et pour valider la plausibilité de leurs réponses, etc. Cette médiation par le maître s’élimine peu à peu, à des moments différents selon les élèves qui peuvent être aidés individuellement ou par petits groupes.

Commentaires personnels

 

 

 

 

Construire une représentation mentale de la situation mathématique.

 

 

 

 

 

Un énoncé de problème arithmétique est un énoncé lacunaire

 

 

 

 

   

 

 

 

Facteurs de difficulté

 

Éléments à considérer

 

Indications de travail

 

Place de la question

 

Fin ou début : des recherches mettent en évidence que l’indication de la question dès le début du texte est facilitatrice.

 

On peut inciter les élèves à une double lecture quand la question est en position terminale : lire le texte en entier,reformuler ce que l’on cherche et relire les données sous cet éclairage.

Ordre des données

 

– Ordre correspondant à celui du traitement ou non.

– Ordre syntaxique cohérent ou non avec l’ordre logique.

On évitera les stéréotypes et on proposerades énoncés dans lesquels l’ordre de présentation des données est varié.

Complexité du texte

 

– Phrases complexes, en particulier phrases avec des relatives (surtout avec dont).

Exemple: « Pierre et Marc vont régulièrement à la piscine. À la fin du trimestre, Pierre, qui est allé 13 fois à la piscine, a payé 10 euros de moins que Marc qui y est allé 5 fois de plus. Quel est le prix d’une entrée à la piscine? Quelle somme chaque enfant a-t-il dépensée? »

– Présence de formules inusuelles (sachant que…).

– Présence de mots inducteurs « contre-intuitifs».

Exemple : « Florian qui a 5 ans de “plus” que son frère est âgé de 16 ans. Quel âge a son frère ? »

 

Pour les énoncés très complexes, on gagne, pour des élèves en difficulté, à faire effectuer des reformulations du texte :

– réécriture (produire un autre texte plus explicite);

– reprise des données sous d’autres formes : tableau, représentation graphique, etc.

 

Caractère plus ou moins complet des données

 

Données indispensables ou présence de données parasites (inutiles par rapport aux questions posées et exigeant un tri).

Exemple : « 24 voitures de formule 1 viennent de prendre le départ d’un grand prix. Elles doivent effectuer 48 tours d’un circuit de 4 km 500. Le tour le plus rapide a été effectué à la vitesse moyenne de 190 km/h. Quelle est la longueur totale de l’épreuve ? Pour le vainqueur, quelle sera la durée approximative de la course? » Thévenet Serge (dir.), Maths.

Cycle des approfondissements, cycle 3,

CM1, Paris, Bordas, 1996.

 

– Afin d’attirer l’attention sur ce traitement, on peut demander de repérer les données inutiles dans le texte, les isoler, voire les supprimer, pour répondre aux questions posées, éventuellement de trouver des questions qui mobiliseraient les données inutilisées.

– Les élèves ont tendance à construire un « modèle» de résolution dans lequel ils doivent utiliser tous les nombres donnés dans le texte ; il est bon qu’ils prennent conscience du caractère erroné de cette « fausse règle ».

 

Caractère plus ou moins familier de la situation

 

Nature des connaissances préalables « sur le monde » sollicitées (qu’il s’agisse des acquisitions scolaires ou de celles qui ont été rendues possibles par les expériences vécues).

 

– Il leur faut apprendre à utiliser leurs connaissances préalables pour valider leur réponse et en vérifier la pertinence, et, en même temps, apprendre à la dépasser.

Exemple : pertinence pragmatique (on n’utilise pas 12,5 bus pour transporter les élèves, mais 13).

– Les connaissances préalables des enfants peuvent être très variables selon les expériences vécues. Il convient de s’assurer que, face à un texte, chaque élève dispose de référents lui permettant d’élucider les données, de contrôler sa réponse.

Vocabulaire univoque ou non

 

 – Le lexique peut être spécifique aux mathématiques (perpendiculaire, parallèle, etc.) ou non (sommet, multiple, etc.); dans ce cas, il peut naître des ambiguïtés qui constituent parfois des obstacles pour la résolution du problème précis posé.

– Des formules utilisées en mathématiques peuvent aussi, malgré leur simplicité apparente, poser des problèmes de compréhension (« Des livres coûtant 12 euros pièce » : le mot « pièce » peut faire obstacle).

 

– Les acquisitions lexicales doivent accompagner le travail notionnel en mathématiques comme dans les autres domaines. L’élaboration d’un répertoire ou d’outils de référence auxquels les élèves peuvent se référer dans les activités est d’une grande utilité.

Ce travail sur la polysémie de certains mots – et la discrimination de leur sens spécialisé – peut se réaliser dans des séances spécifiques d’étude de la langue.

 

Informations données sous plusieurs formes

 

– Texte et graphiques, cartes, photos, schémas, etc.

– Situation qui exige de relier des informations de manière explicite ou sans que cela soit explicitement demandé.

 

En mathématiques comme dans d’autres domaines (sciences, géographie, etc.), on entraînera les élèves à utiliser divers supports et à mettre en relation les informations (à voir leur caractère redondant ou complémentaire).

 

Problèmes à une ou plusieurs étapes de résolution

Étapes de résolution suggérées ou non par les questions.

 

On passera progressivement de textes dans lesquels les étapes sont suggérées à des textes qui présentent uniquement la question finale. On peut aussi faire de cette variable un élément de la différenciation en donnant aux uns et aux autres des textes plus ou moins «guidants» selon les difficultés qu’ils rencontrent.

 

Problème fermé ou problème ouvert

 

– Pas de réponse canonique possible.

– Plusieurs solutions possibles.

Exemple : « Chez la fleuriste, Paul demande un bouquet composé de roses et d’iris. Les roses valent 2 euros pièce et les iris 1 euro. Le bouquet terminé, lafleuriste dit à Paul: “Ça fait 18 euros.” De combien de roses et d’iris la fleuriste a-t-elle pu composer le bouquet ? »

 

Il convient de diversifier les textes de telle façon que les élèves ne construisent pas une représentation figée associant une question à une réponse.

 

Référence notionnelle

 

Notions à mobiliser

– certains mots (fois, partage, reste, différence, total, etc.) induisent la mobilisation d’une notion, d’une procédure, d’un algorithme, pas toujours à bon escient ;

– parfois, c’est simplement la proximité temporelle qui fonctionne (on apprend la multiplication, donc on résoudra le problème avec une multiplication ; il reste à bien choisir les nombres s’il y en a plusieurs).

 

Il convient d’éviter tout conditionnement même si des répétitions sont nécessaires pour exercer et fixer des savoir-faire.

– Quand les problèmes proposés sont « décrochés » par rapport au moment de l’apprentissage des acquis qu’ils sollicitent, la difficulté est plus grande ; ce sont alors vraiment la compréhension de la situation et la capacité à mobiliser ses acquis qui jouent.

 

 

B. Extrait des documents d’accompagnement :

Mathématiques, cycle 2 et cycle 3

 

 

Parler, lire et écrire en mathématiques

Dans le cadre de l’apprentissage des mathématiques, les élèves sont amenés à utiliser la langue usuelle et à mettre en place des éléments du langage mathématique (vocabulaire, symboles, schémas, graphiques). L’un des objectifs de l’enseignement des mathématiques est aussi, au côté des autres disciplines, de contribuer au développement des compétences dans le domaine de la langue orale et écrite, tout en travaillant les spécificités du langage mathématique et de sa syntaxe parfois particulière.

À l’école élémentaire, essentiellement à partir du cycle 2, les élèves sont fréquemment sollicités pour travailler sur des tâches qui leur sont communiquées par écrit. Il faut veiller à ce que les difficultés de lecture ne viennent pas gêner les progrès en mathématiques dont sont capables les élèves. Le travail mathématique devient possible au moment où l’élève a compris la situation évoquée et la question posée et où il peut donc s’interroger sur la démarche à mettre en œuvre pour y répondre. L’excès de travail sur fiches doit être évité, en particulier avec les jeunes élèves (cycles 1 et 2).

 

Parler en mathématiques

Les problèmes ne doivent pas être assimilés à des énoncés écrits et on veillera à varier la façon dont ils sont proposés aux élèves :

la question peut être posée oralement à partir d’une situation matériellement présentée aux élèves, ce qui offre l’avantage de permettre ensuite une vérification expérimentale de la réponse élaborée ;

– la situation support peut être décrite oralement, accompagnée de quelques éléments importants écrits au tableau ;

– si la situation est proposée sous forme d’un énoncé écrit, on peut demander aux élèves de la reformuler ou de l’expliciter oralement pour en faciliter la compréhension.

Quel que soit le cycle, pour les élèves dont le français n’est pas la langue maternelle et que le recours trop fréquent à des supports écrits risque d’exclure des activités mathématiques, les problèmes doivent le plus souvent être présentés sous forme orale, si possible en appui sur une situation matérialisée.

Il faut souligner, dans un autre registre, que l’oral et l’écrit ne mettent pas toujours en valeur la même information. Ainsi, en calcul mental, la somme 45 + 25 donnée par écrit peut-elle inciter à traiter d’abord les unités (en référence à l’opération posée) alors que, formulée oralement, elle conduit plus volontiers à commencer par additionner quarante et vingt. Le calcul mental s’appuie ainsi très souvent sur une désignation orale des nombres.

Les moments de mise en commun, d’explicitation des démarches et des résultats, d’échange d’arguments à propos de leur validité, se déroulent essentiellement de manière orale. On veillera, dans ces moments, à maintenir un équilibre entre les formulations spontanées utilisées par les élèves et la volonté de mettre en place un langage plus élaboré. Cette volonté ne doit pas freiner l’expression des élèves. Les moments de reformulation et de synthèse sont davantage l’occasion de mettre en place un vocabulaire et une syntaxe corrects.

L’enseignement des mathématiques donne lieu, dès l’école élémentaire, à l’apprentissage d’un vocabulaire précis. Les interférences entre « mots courants » et «mots mathématiques » peuvent être source de confusions auxquelles l’enseignant se doit d’être attentif. Ainsi le mot « droit » s’oppose-t-il souvent à l’idée de « penché » dans le langage courant (se tenir droit), alors qu’il évoque celle d’alignement pour un « trait droit » (qui peut être penché) ou se rapporte à une certaine « ouverture » lorsqu’on parle « d’angle droit ». Des moments pourront être utilement consacrés à mettre en évidence, avec les élèves, ces différences de signification d’un même terme.

De plus, la mise en place d’un vocabulaire précis (somme, produit, rectangle...) ne remplace pas la construction du concept. Ce vocabulaire n’a de sens que lorsque le concept est en construction et a déjà été utilisé implicitement par les élèves.

 

Lire en mathématiques

La spécificité des textes utilisés en mathématiques (par exemple, énoncés de problèmes, descriptions de figures géométriques) nécessite un travail particulier relatif à leur lecture : recherche des indices  pertinents, allers-retours fréquents entre l’énoncé et la question, décodage de formulations particulières.

Ainsi, la lecture d’une consigne comme «Trace la droite perpendiculaire à la droite D, qui passe par le point A» nécessite t-elle de comprendre que c’est la perpendiculaire demandée qui doit passer par le point A et non la droite D. Dans un premier temps, l’utilisation d’une consigne formulée en isolant les deux informations éviterait de telles confusions : «Trace une droite qui passe par le point A et qui est perpendiculaire à la droite D.»

Rappelons qu’il est important que la prise d’informations se fasse sur des supports variés (textes, tableaux, graphiques, schémas).

 

Écrire en mathématiques

Les élèves sont fréquemment placés en situation de production d’écrits. Il convient à cet égard de développer et de bien distinguer trois types d’écrits dont les fonctions sont différentes :

les écrits de type « recherche » correspondent au travail privé de l’élève. Ils ne sont pas destinés à être communiqués, ils peuvent comporter des dessins, des schémas, des figures, des calculs. Ils sont un support pour essayer, se rendre compte d’une erreur, reprendre, rectifier, organiser sa recherche.

Ils peuvent également être utilisés comme mémoire transitoire au cours de la résolution du problème. Si l’enseignant est amené à les consulter pour étudier le cheminement de l’élève, il ne doit ni les critiquer, ni les corriger ;

les écrits destinés à être communiqués et discutés peuvent prendre des formes diverses (par exemple, affiche, transparent). Ils doivent faire l’objet d’un souci de présentation, de lisibilité, d’explicitation, tout en sachant que, le plus souvent, ils seront l’objet d’un échange entre les élèves au cours duquel des

explications complémentaires seront apportées ;

les écrits de référence sont élaborés en vue de constituer une mémoire du travail de l’élève ou de la classe. Ils sont donc destinés à être conservés et doivent être rédigés dans une forme correcte. Ce n’est que progressivement que ces trois types d’écrits seront bien distingués, notamment au cycle 3.

L’exigence syntaxique ou graphique (soin, présentation) varie également selon la finalité de la trace écrite, et ne doit pas faire obstacle à l’objectif principal qui reste l’activité de réflexion mathématique.

On sera attentif en particulier à ne pas se limiter à des formes stéréotypées, sécurisantes, mais pour lesquelles l’exigence formelle prime trop souvent sur le contenu de l’explication.

L’attention doit également être attirée sur l’importance de la synthèse effectuée au terme d’un apprentissage. Celle-ci peut permettre d’élaborer un écrit trouvant sa place dans un aide-mémoire ou un mémento dans lesquels sont consignés les savoirs essentiels.

Commentaires personnels

 

Mettre en place des éléments du langage mathématique.

 

Travailler les spécificités du langage mathématique et de sa syntaxe parfois particulière. Les difficultés de lecture ne doivent pas être des obstacles au progrès mathématique

Les problèmes ne sont pas que des énoncés écrits.

 

 

 

Formuler et expliciter oralement.

 

 

 

 

 

 Maintenir un équilibre entre les formulations spontanées utilisées par les élèves et la volonté de mettre en place un langage plus élaboré.

 

 

 

Mettre en évidence, avec les élèves, les différences de signification d’un même terme.

 

Travail particulier relatif à la lecture des textes mathématiques.

 

 

 

 

 

 

 

 

Trois types d’écrits mathématiques.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Importance de la synthèse des savoirs et savoir-faire.

 

 

II. Des compléments d’information.

 

 

Texte n°1. L’oral et les mathématiques

Pour consulter ce texte, cliquer ici. 


Texte n°2.  Maîtrise de la langue et mathématiques.

Ce texte s’inspire largement de documents fournis par A. Camenisch , PIUFM à l’IUFM d’Alsace.

A. Lexique mathématique au cycle 2 et au cycle 3

Catégories de mots à distinguer en mathématiques

·        Mots-outils ou « petits mots » (par exemple, « un » qui veut dire parfois « un et un seul » ; les articles en général, les connecteurs logiques (parce que, puisque, donc, y, en,…) ;

·        Mots « irréguliers » (notamment à radical variable) ;

·        Mots avec un sens courant et un sens mathématique (polysémie) (par exemple, : milieu, chiffre, nombre,…). De nombreuses erreurs sont dues au fait qu'un même signifiant peut désigner des signifiés différents selon le contexte référent. Par exemple, le verbe « doubler » a un sens différent selon qu'il est associé au mot nombre ou au mot voiture. Un élève peut donner la réponse 6, quand on lui demande de doubler le nombre 5. Cette erreur peut être due au fait que l'élève associe le verbe «doubler » au mot voiture et dans ce cas, doubler une voiture signifie passer devant. Il faut du temps avant que les élèves puissent évoquer tout de suite le bon signifié.

              Il y a des mots et expressions qui sont utilisés :

‑ uniquement dans le domaine des mathématiques (polyèdre, polygone, poser une opération ....),

‑ dans d'autres domaines que les mathématiques alors que leur sens premier est mathématique : être dans la moyenne, respecter les proportions,...

‑ en mathématiques et dans d'autres domaines en désignant des signifiés différents : le centre d'un cercle, le centre d'une ville, un sommet d'un triangle, le sommet d'une montagne, le produit de deux nombres, un produit de consommation,...

·        Verbes des consignes ;

·        Mots interrogatifs ;

Suggestions d’activités 

·        Ajouter tous ces mots, au fur et mesure de leur rencontre, au capital-mot à mémoriser (boîte à mots mathématiques)

·        Repérer ces mots dans le contexte et comprendre les mots essentiels à la compréhension en mathématiques

·        Afficher une liste de mots-outils fréquents dans des phrases « mathématiques ».

·        Rattacher les déterminants aux noms, les pronoms sujets aux verbes.

·        Repérer les marques de genre et de nombre dans les mots variables comme indice pour le sens.

·        Faire des substitutions de mots avec des étiquettes à replacer ou des textes à trous.

·        Faire des activités de copie des mots fréquemment rencontrés ou polysémiques en mathématiques.

·        Faire des jeux poétiques avec les mots polysémiques.

·        Chercher dans un dictionnaire, dans une liste ou dans un texte :

Ø   des mots de même sens

Ø   des mots de sens contraire

Ø   la définition d’un mot

Ø   les différents sens d’un mot

Ø   un exemple d’emploi d’un mot (dans une phrase)

Ø   des mots de la même famille

·        Relever et classer des mots en utilisant des critères variables (sémantiques, morphologiques, classe grammaticale)

Apprentissage lexical : la composition savante des mots

·      Réunir un corpus de mots découverts en mathématiques

·      Classer ces mots selon la manière dont ils ont été « fabriqués »

·      Découvrir le sens des parties des mots en utilisant des dictionnaires

 

B. Lecture et écriture en mathématiques au cycle 2

 

      Lecture d’écrits mathématiques

 

Lire en mathématiques suppose deux types d’interventions :

1)   Comme tout écrit scolaire, l’écrit mathématique devrait apparaître comme support d’apprentissage dans une « séance » de lecture (en alternance avec les écrits littéraires ou fonctionnels). Les apprentissages porteront essentiellement sur le type d’écrit (avec deux types de textes dominants : injonctifs et informatifs), les stratégies de lecture spécifiques, les structures syntaxiques fréquentes, la reconnaissance d’un lexique spécifique.

2)   Tout écrit mathématique donné à lire aux élèves doit auparavant être questionné afin de lever les difficultés de lecture empêchant les élèves d’accéder à la tâche mathématique : autre type d’écrit impliqué (recette, règle du jeu…), structure textuelle, syntaxe des phrases, capital de mots connus, petits mots essentiels…

 

Exemple :

Nouvelle Collection Thévenet Maths CE1, Bordas, 1995, p.108

 

 

                                                       

 

Difficultés de lecture et solutions pour chacune des parties de l’énoncé :

1)   Le texte des données                                              

·        Représentation de la situation (imaginer les pages de l’album de timbres) : dessiner les pages de l’album.

·        Sens distributif du déterminant « chaque » : faire reformuler (toutes les pages sont identiques ou « pareilles »)

·        Information sur les timbres anglais : faire préciser le sens de « surtout ».

·        Illustration non conforme aux données : ne pas en tenir compte ou la rectifier.

2)  La consigne

·        Deux activités différentes (barrer et répondre) : séparer les deux activités (d’abord barrer les questions auxquelles on ne peut pas répondre, puis répondre aux autres)

·        Consigne « rajoutée » aux  questions du problème : supprimer la consigne et demander aux élèves de répondre aux questions, à eux de se rendre compte qu’on ne peut pas répondre à toutes les questions.

3)  Les questions

·        Syntaxe différente des phrases interrogatives : chercher le mot qui va avec « combien ».

·        Rôle des expansions « par page », « au total » : faire reformuler.

·        Rôle des adjectifs : à inclure dans le groupe nominal (mot qui va avec « combien »)

 

STRATÉGIE DE LECTURE

Exemple de stratégie de lecture à construire

Activités possibles

1) Lire l’énoncé

Différentes modalités de lecture : lecture orale par le maître, par un élève, lecture silencieuse, dictée.

Dictée : la situation de dictée de l'énoncé permet d'interroger le texte tant au niveau de sa forme qu'au niveau de son sens. Un élève écrit au tableau, les autres dans leur cahier. Une discussion argumentée vise à confronter les différentes propositions et à établir l'orthographe correcte en fonction du sens. On peut aussi omettre de dicter la ponctuation afin de faire réfléchir à la segmentation et au type des phrases.

 

2) Se représenter mentalement une situation fictive

 

 De quoi est‑il question ? De qui, de quoi s'agit‑il ?

 

Reconstituer un énoncé aux phrases mélangées;

Repérer les groupes syntaxiques ;

Changer de point de vue ;

Reconstituer des énoncés portant sur le même thème ;

Réécrire l'énoncé dans un ordre chronologique;

Chercher les mots manquants dans un énoncé à trous.

Textes à trous : la suppression de mots conduit à un travail de reconstitution qui contraint à une lecture globale de l'énoncé, une construction active du sens, une prise d'indices sur les marques grammaticales et une attention sur le vocabulaire employé.

Changer de point de vue.

Enoncé de départ

"Matthieu joue une partie de billes. Il gagne 7 billes. Maintenant, il a 17 billes. Combien de billes avait-il au début de la partie ?"

Un travail permettant de donner du sens consiste à enrichir la situation, en permettant une lecture d'un deuxième point de vue, celui de Marie, contre laquelle jouait Matthieu. Bien évidemment, tout ce qui a été écrit précédemment fonctionne encore.

Exemple d'énoncé pouvant être produit:

"Matthieu joue une partie de billes contre sa soeur Marie. Marie perd 7 billes. Maintenant, Matthieu a 17 billes. Combien de billes avait-il au début de la partie ?"

Le verbe "perdre" vient, par changement de point de vue, de se substituer au verbe "gagner", démontant ainsi certains automatismes néfastes. Il est important de fabriquer autant de problèmes où le verbe "perdre" correspond à une opération d'addition que d'énoncés ou le verbe "gagner" correspond à une opération de soustraction. Il en est de même pour tous les couples de verbes antonymes induisant spontanément des comportements automatiques.

 

3) Savoir ce qu’on doit chercher

 

Que faut‑il chercher ? Comment peut‑on le savoir ? Quels mots le disent ?

 

Repérer la partie injonctive de l'énoncé ;

Préciser le sens des verbes injonctifs ;

Remplacer les pronoms par les noms représentés (ou les relier) ;

Choisir la bonne consigne parmi plusieurs ;

Reformuler autrement la phrase interrogative;

Repérer les groupes syntaxiques.

Les groupes syntaxiques : "mettre ensemble les mots qui vont ensemble" constitue une activité essentielle pour entrer dans la construction des phrases complexes et donc définir le lien entre les déterminants interrogatifs et les noms.

 

4) Savoir de quelles informations on dispose.

 

 Où peut‑on trouver ce qu'on cherche ?

 

Repérer la partie informative de l’énoncé ;

Supprimer les informations parasites (description, narration...) ;

S'interroger sur le sens des « petits mots », des mots polysémiques, des mots-outils, des données numériques ;

Présenter les données dans un autre registre (tableau, schéma) ;

Réduire l’énoncé en phrases minimales et discuter de la différence avec l’original.

La phrase minimale : tenter de réduire un énoncé en une phrase minimale permet, d'une part, de simplifier les groupes nominaux trop complexes et, d'autre part, de faire le tri entre les informations essentielles et superflues.

 

5) Rédiger une phrase-réponse Le travail de compréhension de l'énoncé sera considéré comme terminé si les élèves peuvent anticiper la réponse attendue, avec un emplacement vide pour la réponse. Il s'agit d'ailleurs souvent de passer d'une phrase interrogative (celle de l'énoncé) à une phrase déclarative.

 

Ecriture de textes mathématiques

Produire un texte complet est une tâche difficile au cycle 2. Par sa brièveté, sa structure et son contenu, l’écrit mathématique peut s’avérer un support intéressant pour entrer dans un apprentissage progressif de l’écriture.

Au CP : écrire la solution d’un problème

Ecrire la solution d’un problème revient à produire une phrase simple dont la structure est la suivante  :  P = GN + GV

 

Exemple : Extrait de Math CP Hachette

 

GN

(sujet)

GV

 

Verbe

GN

(complément)

La voiture

Adeline

Il

a

a acheté

manque

4 roues

12 œufs

5 fourchettes

déterminant + nom

 ou nom propre ou pronom

verbe conjugué

nombre

(déterminant)

nom

 

Pour construire ces phrases, il s’agit de réutiliser dans un autre ordre les mots de l’énoncé, en ajoutant le nombre calculé (objet de l’activité mathématique préalable). A ce stade, les élèves produiront les phrases en copiant les mots (en veillant à la rigueur de l’orthographe) et en s’appuyant sur des phrases modèles et sur leur connaissance implicite et intuitive de la construction d’une phrase. Il ne s’agit pas de nommer les classes grammaticales (ou « natures ») ni d’analyser les phrases.

L’activité peut se complexifier en changeant l’énonciation (question 1 : passage du « tu » au « je »), en retrouvant ailleurs la phrase-modèle (question 4 : consigne à modifier), en écrivant des mots nouveaux (question 6 : consigne et inducteur d’écriture discutables).

 

 

          

        

Ce type de phrases peut aussi devenir (plutôt au CE1) un support pour une activité décrochée en grammaire (accord sujet/verbe, forme plurielle du nom, structure de la phrase simple, complément de verbe).

Du CP au CE1 : écrire la question d’un problème d’après des données

Pour écrire la question d’un problème d’après des données, les élèves doivent produire une phrase interrogative en réutilisant les mots et les nombres des données afin de faire faire des calculs.

Une démarche possible :

1.       Prérequis : avoir déjà fait des problèmes du même type.

2.     Invention libre de questions par les élèves d’après des données imposées.

3.     Echange de questions entre élèves et tentatives de réponses.

4.     Mise en commun et discussion sur les difficultés rencontrées (pas de calcul, pas de réponse possible…)

5.     Voir dans des énoncés mathématiques comment on formule une question dans un problème qui ressemble (choisir par exemple des questions qui commencent par « combien… »)

6.     Réécrire des questions sur le même modèle de phrase.

7.     Mettre en commun toutes les questions, les comparer, tenter d’y répondre.

8.     Structuration, évaluation.

Remarque : L’écriture d’un énoncé complet ne s’envisagera qu’à partir du cycle 3.

 

 

C.  Lecture d’énoncés de problèmes au cycle 3 : quelques pistes.

 

Tri de textes : trier la partie informative de la partie injonctive 

Il s’agit d’affiner les observations pour découvrir le fonctionnement spécifique de ces deux parties…

On peut plus précisément s’interroger sur la structure et le sens de la phrase interrogative. Selon la forme de la question et le type de mot interrogatif, l’élève est plus ou moins guidé :

·        soit il sait ce qu’il doit chercher : lecture dirigée de l’énoncé (distance, prix…)

·        soit il doit d’abord trouver ce qu’il cherche : lecture « mathématique » de l’énoncé.

 

Questions de vérification de bonne lecture

Ces questions portent sur la compréhension littérale de l’énoncé.

·        Lecture sélective : relire l’énoncé de manière sélective pour en tirer une donnée importante et utile pour la résolution du problème.

·        Lecture active : relire l’énoncé pour se rendre compte qu’il ne permet pas de répondre à la question. Ces questions peuvent se situer avant les questions « mathématiques » afin d’éviter les erreurs de lecture, ou après, pour faciliter la prise de conscience d’une telle erreur.

 

Textes à trous

Suppression de mots d’une même classe grammaticale en fonction des difficultés de lecture posées par l’énoncé. Selon les mots supprimés, cette activité permet :

·        une lecture globale de l’énoncé ;

·        une construction du sens ;

·        une prise d’indice sur les marques grammaticales ;

·        une attention au vocabulaire ;

 

Reconstitutions d’énoncés portant sur un même thème 

Cette activité vise la compréhension « textuelle » de l’énoncé :

·        progression thématique ;

·        substituts (dans la partie informative) ;

·        ordre des questions (dans la partie injonctive) : entrée dans la compréhension « mathématique » ;

 

Phrases à compléter 

Anticipation de la réponse attendue avant de lancer le travail en mathématiques : passer d’une phrase interrogative à une phrase déclarative.

 

Texte n°3. Entretien avec M. FAYOL

JDI n°5 Janvier 2004

 L'énoncé de problème est un type de texte particulier, pas tout à fait un récit, ni une explication, ni un texte procédural. Il ne dit pas jusqu'au bout ce qu'il faut faire. Pour le comprendre, il convient de se fabriquer une représentation extrêmement précise de ce que dit te texte avant de rechercher la façon dont on va devoir procéder pour résoudre le problème.

 Dans la vie courante, les situations‑pro­blèmes ne sont pas des situations élaborées à partir d'un texte. Les individus ont affaire à des problèmes « pour de vrai » : les pro­blèmes d'arithmétique, qui sont une éma­nation de l'école, ajoutent une autre dimension, celle de devoir imaginer à partir d'un texte. C'est ce qui les rend particulière­ment difficiles.

 Il est clair que la lecture des énoncés de problèmes oblige à avoir un type de lecture extrêmement précis, ce qui n'est toujours vrai pour d'autres textes. Elle

nécessite, dans certaines conditions, de recourir à des inférences systématiques et souvent difficiles. On pourrait dire qu’apprendre à lire des énoncés de problèmes développe un type de stratégies presque obsessionnel. Il faut lire attentivement, veiller à ce que la cohérence soit très forte, faire en sorte que toutes les informations pertinentes soient utilisées et seulement celles‑ci. Il s'agit de mettre en oeuvre des stratégies particulières. De ce point de vue, on peut dire qu'apprendre à lire des énoncés de problèmes, c'est faire un pas de plus dans la maîtrise de la langue.

 

 

III. Des exemples d’activités.

 

Deux sortes d’activités sont suggérées ici :

-         celles qui apparaissent de manière diffuse dans les séances de mathématiques. On continuera à les appeler activités.

-         celles qui à elles seules constituent un ensemble cohérent, avec des objectifs précis : on les appellera des séquences.

Activité n°1 : Ordonner l’entrée dans l’activité mathématique.

Ménager des étapes d’entrée dans l’activité : lecture silencieuse individuelle, lecture à haute voix, reformulations par les élèves.

 

Activité n°2 : Contrôler son travail.

 

Apprendre à l’élève à contrôler son travail par rapport à la consigne.

 

Activité n°3 : Constituer un glossaire.

 

Faire constituer un glossaire des verbes rencontrés dans des consignes

avec des définitions d’activités et des exemples de résolution (avec réussites

et erreurs).

 

Activité n°4 : Varier la place de la consigne.

 

Placer aussi la consigne au début de l’énoncé.

On peut inciter les élèves à une double lecture quand la question est en position terminale : lire le texte en entier, reformuler ce que l’on cherche et relire les données sous cet éclairage.

 

Activité n°5 : Comprendre le vocabulaire et les expressions mathématiques.

 

Créer collectivement, dans la classe, une « boîte à mots mathématiques », avec des exemples et des illustrations.

Le travail sur la polysémie de certains mots – et la discrimination de leur sens spécialisé – peut se réaliser dans des séances spécifiques d’étude de la langue.

 

Exemple.

Lister tout ce qui permet de comprendre la valeur de « un » dans un problème multiplicatif :

 des rangées de 12 salades

les rangées ont 12 salades chacune

une rangée a 12 salades

chaque rangée a 12 salades

12 salades par rangée

12 salades pour chaque rangée

 

des gâteaux coûtent 2€  pièce

des gâteaux coûtent 2€  l'un

des gâteaux coûtent 2  l'unité

 

12 kilomètres à l'heure

12 € le litre

etc..

 

Activité n°6 : Trouver la ou les questions intermédiaires.

 

On passera progressivement de textes dans lesquels les étapes sont suggérées à des textes qui présentent uniquement la question finale.

 

Activité n°7 : Pratiquer différents types d’écrits mathématiques.

 

Faire apparaître et utiliser en classe les trois types d’écrits mathématiques.

 

Activité n°8 : Résoudre des problèmes oraux.

Les problèmes ne doivent pas être assimilés à des énoncés écrits et on veillera à varier la façon dont ils sont proposés aux élèves :

– la question peut être posée oralement à partir d’une situation matériellement présentée aux élèves, ce qui offre l’avantage de permettre ensuite une vérification expérimentale de la réponse élaborée ;

– la situation support peut être décrite oralement, accompagnée de quelques éléments importants écrits au tableau.

 

Activité n°9 : Argumenter en mathématiques.

 

Il s’agit de fournir une explication argumentée, convaincante au regard de la question ou du problème posé. Pour l’essentiel, cela se fait oralement, avec des écrits auxiliaires éventuels.

 

Activité n°10 : Donner du sens aux écritures symboliques

La langue mathématique est aussi une langue de symboles, une langue qui s'appuie sur des conventions. Ces dernières doivent explicitement être évoquées aux élèves. Par exemple, il est intéressant de leur dire que l'écriture à virgule d'un nombre décimal est une écriture conventionnelle qui a été introduite pour faciliter l'exposition des calculs.

 A l'école élémentaire, de nombreuses écritures symboliques sont introduites et il s'agit de proposer aux élèves des activités pour leur donner du sens.

 On peut alors faire l'hypothèse que formuler et faire formuler les relations sous-jacentes à ces écritures contribuent à leur donner du sens.

 Les exemples suivants relatifs aux écritures additives, soustractives et multiplicatives ont été proposés aux participants de l'atelier

 Formuler avec des mots l'écriture

 

• 5+4=9

 

• 125‑78

 

• 4x5=20

 

Voici quelques propositions pour 5 + 4 = 9

 • des formulations se référant à des contextes : nous sommes le quatre, dans cinq jours, nous serons le neuf

 • des formulations hors contexte: cinq plus quatre égale neuf où on désigne chaque symbole par un mot, formulation qui peut marquer l'absence de sens, la somme de quatre et cinq, ça fait neuf, quand j'ajoute cinq à quatre, j e trouve neuf...

 • des formulations qui font apparaître le lien entre signifié et signifiant: cinq plus quatre, c'est la même chose que neuf.

 

D'autres formulations peuvent être évoquées

• neuf, c'est cinq (quatre) de plus que quatre (cinq)

• de cinq (quatre) pour aller à neuf, il faut ajouter quatre (cinq).

On peut aussi évoquer les égalités qui se déduisent de 5 + 4 = 9 9‑5 =4 et 9‑4=5.

 

Voici quelques propositions pour 125 ‑ 78

•    des formulations se référant à un contexte : j'ai cent vingt-cinq euros et je dépense soixante dix‑huit euros ;

•    des formulations moins contextualisées : cent vingt‑cinq moins soixante-dix-­huit, la différence entre cent vingt‑cinq et soixante dix‑huit, l'écart entre cent vingt‑cinq et soixante‑dix huit, ce qu'il faut ajouter à soixante‑dix-huit pour obtenir cent vingt‑cinq, ce qui manque à soixante-dix‑huit pour obtenir cent vingt‑cinq.

 

De même pour 4 x 5 = 20

•    des formulations se référant à un contexte : vingt fauteuils, c'est quatre (cinq) rangées de cinq (quatre) fauteuils ;

•    des formulations moins contextualisées : quatre fois cinq égalent vingt, vingt est un multiple de quatre (cinq), quatre (cinq) est un diviseur de vingt, vingt est dans la table de quatre (cinq), vingt est cinq (quatre) fois plus grand que quatre (cinq).

 

Il semble important de faire émerger toutes ces traductions afin de montrer que le sens d'une écriture symbolique se construit tout au long de la scolarité et que ces activités langagières peuvent permettre à leurs élèves de mieux calculer et de mieux résoudre les problèmes numériques en s'appuyant sur les relations explicites entre les nombres.

Ce travail de formulation des écritures symboliques peut suggérer d'autres exemples de pratique langagière permettant d'en approfondir le sens. En voici quelques exemples :

-         écrire un énoncé de problème dans lequel on trouve le mot «gagner » et où la solution se trouve en faisant une soustraction ;

-         écrire un énoncé de problème dans lequel on trouve l'expression « de moins que » et où la solution se trouve en faisant une addition.

-         écrire un énoncé de problème dans lequel on trouve l'expression « fois plus » et où la solution se trouve en faisant une division.

 

Activité n°11 : Construire une mémoire collective écrite.

D’après des documents fournis par D. BUTLEN et M. PEZARD,  IUFM de Créteil

Chaque semaine (ou quinzaine), deux élèves sont chargés de rédiger et d'écrire sur le cahier "mémoire de la classe", un résumé de cinq à dix lignes sur ce qui a été appris pendant la semaine (ou la quinzaine) en mathématiques.

Ce texte est soumis à la critique de la classe qui peut l'amender et le préciser. La nouvelle version, rédigée collectivement, est adoptée et devient le texte de la classe.

Dans le débat collectif, la parole est donnée prioritairement aux élèves chargés de la rédaction. Le maître s'attachera à valoriser leur production mais aussi à solliciter le reste de la classe afin de l'enrichir.

Cette gestion doit être souple. Le maître sollicite les élèves mais ce sont eux, collectivement, qui définissent les notions à retenir et les corrections à effectuer. Le texte final est celui des élèves, ce n'est pas la synthèse du professeur. Bien sûr, le maître doit attirer l'attention des élèves sur les erreurs mathématiques éventuelles et leur donner les moyens de les corriger collectivement.

La gestion du débat doit tenir compte de la personnalité propre de chaque élève. Mis à part les cas de "blocage", le maître ne doit pas donner la parole systématiquement aux "bons" élèves. Il peut s'appuyer, pour alimenter le débat, sur des élèves de niveau moyen ou faible, susceptibles de prendre aisément la parole et de faire des propositions constructives, voire contradictoires. Il doit, simultanément, solliciter les élèves faibles.

Au besoin, il prend ponctuellement en charge la mise au point de certaines formulations mais s'interdit toute intervention portant sur le sens, le contenu, la nature des propositions. Il anime le débat mais ne prend pas position.

 

Séquence n° 1 : Ecrire des énigmes «  à la manière de »

D’après des documents fournis par M. FENICHEL, IUFM de Créteil

Etape 1.

 Première phase : Lecture et résolution du problème suivant:

 Le nombre mystère a quatre chiffres. Le chiffre des unités est la moitié de 16.

Le nombre des centaines vient après 39. La somme de tous les chiffres est 14.

Quel est ce nombre ?

On remarque que ce problème a plusieurs solutions mais que les élèves de cette classe ont traduit l'expression «  vient après 39 «  de manière restrictive par « est le nombre qui vient juste après 39 ».

 

Deuxième phase : Ecriture par les élèves d'un énoncé de problème du même style que le précédent pour permettre à leurs camarades de trouver un nombre mystère grâce à des informations.

Les élèves reprennent les expressions de l'énoncé initial et produisent le même type d'énoncé.

 

Troisième phase : Echange des énoncés produits par les élèves, résolution des problèmes, correction entre pairs.

 

Etape 2

Première phase : Par groupe de quatre élèves, analyse des énoncés choisis par l'enseignante parmi les énoncés produits par les élèves.

 Voici un exemple d’énoncés choisis dans une classe de CE2 :

 

Enoncé a)   Mon nombre a 4 chiffres. Le chiffre des dizènes est après 5. Le chiffre des unités de mille est le premier chiffre. Et la somme de tous donne Il. Qui suis‑je ?

 

Enoncé b) : Le chiffre des unités est avant 10. Le nombre des dizaines est après 15. Quel est le nombre ?

 

Enoncé c) : Le nombre mystère est à 4 chiffres. Le nombre des unités vient avant 9 ; le nombre des dizaines vient après 8. La somme fait 19. Qui suis‑je?

 

Ces énoncés ont été sélectionnés pour permettre

-         de revenir sur l'orthographe de certains mots,

-         de reprendre la signification du mot chiffre : le premier chiffre est " 0 ",

-         de faire la différence entre " chiffre " et " nombre ",

-         de traduire correctement les relations d'ordre entre les nombres.

 

Deuxième phase: échange et mise au point.

Ce moment d'échange est important car les élèves peuvent s'appuyer à la fois sur l'énoncé du problème et sur sa résolution. Il devient fructueux lorsque les élèves sont amenés à utiliser des connaissances mathématiques afin de pouvoir mettre en adéquation l'écriture de l'énoncé du problème et sa résolution. Dans cette classe, les échanges en groupe ont permis d'engager une discussion entre les mots " chiffre " et " nombre " en faisant appel à des connaissances précises, sur les différentes manières d'écrire un nombre.

 

Troisième phase : réécriture des énoncés

Enoncé a) :  Mon nombre a quatre chiffres. Le chiffre des dizaines est après 5. Le chiffre des unités de mille est après zéro. La somme de tous donne 11. Le chiffre des centaines est la moitié de 8. Qui suis‑je ?

Pour les élèves, ce problème n'a qu'une solution 1460

Enoncé b)  Le chiffre des unités est avant 10. Le nombre des dizaines est après 15. Quel est ce nombre ?

Pour les élèves, cet énoncé n'a qu'une solution : 169.

Enoncé c) Le nombre mystère est à trois chiffres. Le chiffre des unités vient avant 9. Le nombre de dizaines vient après 8. La somme fait 19. Qui suis‑je ? "

Les élèves proposent la solution: 298. On remarque qu'ils ne semblent pas

encore très sûrs de la distinction entre chiffre et nombre.

 

Remarques générales

La résolution de ces problèmes montre que les élèves ont une interprétation très restrictive des expressions " vient (est) avant ", " vient (est) après ". Il aurait alors été intéressant de leur proposer une autre solution possible que la leur. L'enseignante aurait alors pu donner la consigne suivante : comment modifier chaque énoncé de manière à ce que le problème ne puisse avoir qu'une seule solution ? Ainsi, elle aurait pu amener les élèves à être plus précis dans la manière d'exprimer les relations d'ordre entre les nombres entiers naturels.

Du point de vue des mathématiques, " vient avant " se traduit par " est inférieur à " ou " est plus petit que " et " vient après " peut se traduire par " est supérieur à " ou " est plus grand que "..

Les mots " successeur " et " prédécesseur " auraient pu être introduits

‑ Le prédécesseur d'un nombre est celui qui vient juste avant. Le successeur d'un nombre est celui qui vient juste après.

‑ Les prédécesseurs d'un nombre sont tous ceux qui viennent avant ce nombre, qui sont inférieurs (plus petits que) à ce nombre. Les successeurs d'un nombre sont ceux qui viennent après ce nombre, qui sont supérieurs (plus grands que) à ce nombre.

Il faudra bien sûr illustrer ces phrases par des exemples. Il serait intéressant de réfléchir à la manière d'utiliser ces mots dans la vie de tous les jours.

La synthèse d'un tel travail aurait alors pu prendre la forme suivante :

En écrivant ces énoncés de problèmes et en les résolvant, nous avons appris que:

‑Il y a dix chiffres pour écrire les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  (on peut

alors faire référence au fait qu'il y a 26 lettres dans l'alphabet pour écrire les

mots).

‑ Le successeur d'un nombre est celui qui vient juste après ce nombre. Exemple : le successeur de 482 est 483, le successeur de 199 est 200.

‑ Le prédécesseur d'un nombre est celui qui vient juste avant ce nombre. Exemple : le prédécesseur de 643 est 642, le prédécesseur de 100 est 99.

‑ Il y a plusieurs manières d'écrire un nombre

256 = 2 centaines + 5 dizaines  + 6 unités = 25 dizaines + 6 unités

             200       +   50              +    6              =     250              +    6

 

On peut conclure en disant que le fait de conjuguer l'écriture d'énoncés avec l'apprentissage de notions mathématiques demande une vigilance accrue concernant l'utilisation des expressions linguistiques qui leur sont associées. Le moment de résolution et de réécriture semble un moment fort pour la construction des apprentissages dans la mesure où les élèves sont confrontés à la nécessité de s'appuyer sur des connaissances mathématiques pour prendre des décisions concernant la mise en cohérence entre l'écriture de l'énoncé du problème et sa résolution.

 

 

Séquence n° 2 : Ecrire des énoncés de problèmes pour améliorer ses connaissances sur la soustraction.

D’après des documents fournis par M. FENICHEL, IUFM de Créteil

 La consigne suivante a été donnée aux élèves: Ecrire un énoncé de problème utilisant les nombres 57 et 172 et l'une des deux expressions suivantes " de plus que " et " de moins que "

Comment utiliser ces productions d'écrits pour faire avancer les élèves dans leur connaissance de la soustraction ?

Voici quelques pistes laissées à votre réflexion :

- Du point de vue de la classification de Gérard Vergnaud relative au champ conceptuel des structures additives/soustractives, les énoncés de problèmes auxquels on s’attend doivent relever de la comparaison d'états.

Une analyse préalable des énoncés par l'enseignant est nécessaire afin d'en faire un choix raisonné en cohérence avec les objectifs choisis. L'analyse peut se faire du point de vue des mathématiques en utilisant les travaux de G. Vergnaud Voici 9 énoncés produits par des élèves de CE2 qui satisfont à la consigne. Ils portent tous ur la recherche de la valeur de la comparaison :

 

Enoncé 1 :  Pierre a 327 billes. Il joue et gagne 5 X 57 billes. Son ami a 2 X 172 billes. Combien Pierre a‑t‑il de plus de billes que son ami ?

 

Enoncé 2 : Madame Durant fait ses courses et doit payer 57F X 2 et Madame Salsa, elle, doit payer 172 F X 10. Combien Madame Durant a payé de moins que Madame Salsa ? "

 

Enoncé 3 : Monsieur Dupont à 57 € et Monsieur Adam a 172 €.  Combien Monsieur Dupont a t‑il de moins que Monsieur Adam ? "

 

Enoncé 4 :  A la campagne, Monsieur Dupont a 57 moutons, son voisin en a 172. Combien Monsieur Dupont a de moins que son voisin ? "

 

Enoncé 5 :  À Saint Germain sur Vienne, il y a deux prés de moutons, il y a le pré de Jac qui contient 57 moutons dont 35 ont la fièvre aphteuse. Dans l'autre pré, il y a des moutons de Marie‑Louise, qui en a 172. Combien Marie-Louise a‑t‑elle de plus que Jac ? »

 

Enoncé 6 : Monsieur Secco a 172 F sur lui. Combien y a‑t‑il de plus que le nombre 57 ? "

 

Enoncé 7 : Madame Duchamp a dans son porte‑monnaie 172 F. Elle achète des oranges à 10 F des poires à 40 F et des pommes de terre à 7 F. En tout, il y en a pour 57 F. Combien y a‑t‑il de moins d'argent dans le porte- monnaie de Madame Duchamp ? "

 

Enoncé 8 : Dans une ferme où il y a 57 cochons et 172 lapins. Combien y a‑t‑il de plus de différence ?

 

Enoncé 9 : Dans une école, il y a 57 élèves et 172 instituteurs. Combien y a‑t‑il de plus d'instituteurs que d'élèves ? "

 

L'énoncé suivant  porte sur la recherche d'un état, la valeur de l'autre état et celle de la comparaison étant connus :

Dans une école, il y a 172 élèves de plus que dans l’école Benoît qui a 57 élèves. Combien y a-t-il d’élèves dans l’autre école ?

Un énoncé correspond à un problème de comparaison relatif à la structure multiplicative :

Nicolas a 57F dans sa tirelire et son père a 172 fois plus que Nicolas. Combien a le père de Nicolas ?

Il est alors possible de faire comparer des phrases du type :

Fatou a 4 billes de plus que Julien

Fatou a quatre fois plus de billes que Julien

Mais il est aussi intéressant d'adopter le point de vue grammatical pour analyser ces productions dans l'objectif d'aider les élèves à mieux exprimer les relations de comparaison qui existent entre deux nombres et qui sont sous-­jacentes à la structure additive/soustractive.

De ce point de vue, on remarque la difficulté, pour certains élèves, d'utiliser le pronom " en " (dans l'énoncé: " A la campagne, Monsieur Dupont a 57 moutons, son voisin en a 172. Combien Monsieur Dupont a de moins que son voisin ? ", le pronom est utilisé dans la partie informative mais pas dans la question) et pour d'autres la difficulté à placer l'expression qui traduit la comparaison (" Dans une école, il y a 57 élèves et 172 instituteurs. Combien y a‑t‑il de plus d'instituteurs que d'élèves ? ").

Il est plus difficile d'écrire un énoncé qui contient l'expression " de plus que " ou " de moins que " dans la partie informative dans la mesure où il faut parfois écrire une proposition subordonnée : par exemple, l'élève qui a écrit l'énoncé "Dans une école, il y a 57 élèves et 172 instituteurs. Combien y a‑t‑il de plus d'instituteurs que d'élèves ? " a donné un état : 57 élèves dans l'école Benoît et il a utilisé l'expression " de plus que " de manière à quantifier la différence entre le nombre d'élèves précédent et celui d'une autre école et il a écrit toutes ces informations en utilisant une proposition subordonnée introduite par " qui ".

D'autre part, les élèves ont du mal à écrire un énoncé dans lequel ils doivent exprimer deux informations de nature différente : dans l'énoncé "Il y a 57 gâteaux au chocolat de moins que 172 gâteaux à la fraise ", l'élève inclut l'état : 172 gâteaux à la fraise dans l'expression de la relation de comparaison. Les deux informations numériques ne sont pas de même nature : l'une exprime un état et l'autre la valeur de la comparaison. Il semble ne plus voir ce qu'il faut chercher, d'où l'absence de question.

L'élève qui a produit l'énoncé suivant : " Paul a 57 F. Sa soeur a 172 F. Son père lui donne 172 F de moins que sa soeur. Combien Paul a‑t‑il ? " semble avoir du mal à utiliser l'expression " de moins que " pour que sa question porte sur la quantification de l'écart entre deux états.

Bien souvent, les élèves n'utilisent que deux des trois éléments de la contrainte comme le témoignent les énoncés suivants : "Madame Dubois achète des produits à 57 F de plus que Madame Chapente " et " A Paris 172 magasins de plus que Livry ‑ Gargan. Livry‑ Gargan a moins que Paris. Combien il y en a en Belgique ? "

On peut alors engager les élèves à chercher dans les manuels comment sont écrits les énoncés de problèmes de comparaison. Il est aussi possible de revenir sur les différentes manières de traduire des écritures du type

172 – 57 = 115 ou 172 + 57 = 229  :

115 est la différence entre 172 et 57

115 est l'écart entre 172 et 57

172 c'est 57 de plus que 115

115 c'est 57 de moins que 172

229 c'est 57 de plus que 172

De même que précédemment, l'aller‑retour entre la résolution et la réécriture de certains des énoncés peut amener les élèves à faire évoluer leurs connaissances concernant l'addition et la soustraction.

 

Séquence n° 3 : Ecrire des énoncés de problèmes à partir d’écritures mathématiques.

 

D’après une idée mise en œuvre par Maria JUBLIN dans une classe de CE1 au cours de l’année scolaire 2004-2005 (Ecole J. RENOIR à Montluçon).

Les élèves sont invités à écrire des énoncés de problèmes à partir d’une écriture mathématique (additive ou soustractive). Afin que les écritures soient plus riches et que les différents sens apparaissent, la consigne est la suivante :

 

Ecrire un énoncé de problème où la question porte sur le nombre entouré.

 

Par exemple :

11  -  2  = 9

 

14  +  41  =  55

 

 Séquence n°4 : Pratique du langage mathématique au CP.

D’après des documents fournis par M. FENICHEL, IUFM de Créteil

Consigne : Explique à ta manière à quoi sert un nombre.

Voici les analyses à priori et à postériori de cette séance

Analyse a priori

L'objectif de cette activité est de faire le point sur ce que les élèves sont en train d'apprendre dans le domaine des nombres. Peuvent‑ils évoquer avec leurs mots l'aspect outil de l'objet mathématique nombre qu'ils sont en train d'apprendre ?

On peut faire les hypothèses suivantes sur les propositions des élèves à cette époque de l'année :

-         un nombre sert à compter ;

-         un nombre sert à calculer

On peut aussi faire l'hypothèse qu'à travers toutes les propositions des élèves vont apparaître les différents contextes dans lesquels peuvent être utilisés les nombres.

On peut reprendre ceux évoqués par Karen Fuson (Les chemins du nombre, Presses universitaires de Lille) qui distingue sept contextes qu'elle répartit en quatre classes :

Les contextes mathématiques :

‑ le contexte cardinal où le nombre quantifie une collection d'éléments discontinus ( réponse à la question "Combien?") ;

‑ le contexte ordinal où le nombre décrit l'ordre d'un élément dans une collection d'éléments ordonnés ( réponse à la question "où ?") ;

‑ le contexte de la mesure où le nombre indique le nombre d'éléments nécessaires, pris pour unités, pour "remplir" l'objet considéré : "tu as deux ans aujourd'hui".

Les contextes séquentiels :

‑ le contexte de séquence où chaque mot-nombre est un élément d'une suite ordonnée sans référence à une quelconque quantité ou même réalité,

‑ le contexte de dénombrement dans lequel les mots‑nombres, organisés en suite stable et conventionnelle, sont mis en correspondance terme à terme avec les éléments d'une collection.

Le contexte symbolique :

‑ où les nombres sont perçus en tant qu'écriture chiffrée.

Le contexte non numérique :

‑ où les nombres servent à désigner des codes tels que les numéros de téléphone ou de bus...

Les propos des élèves (en milieu d’année).

 Steeve : «ça sert à compter»                                                  

Keltoum évoque la même idée

M ( maîtresse) : « ça ne sert qu'à compter?»

Élève : «A faire des égalités »                                

Anna: «A écrire »

M : «à écrire quoi ?»

Anna : «ça sert à écrire maman»

Anna vient écrire le mot maman au tableau.

M : «A‑t‑elle bien écrit le mot maman ?». Les élèves constatent que oui.

M : «Anna, montre‑nous avec quel nombre tu as écrit maman » puis «Avec des nombres, peut‑on écrire quelque chose ?»

Ager : « On écrit des nombres et quand on les écrit à l'envers, ça fait des lettres».

On constate ensemble que pour écrire des mots, on utilise des lettres. Puis on repart sur la consigne.

 

Vivian : «Pour apprendre à écrire les nombres quand on ne sait plus les écrire». Il donne un exemple : «Quand on ne sait plus écrire 7, on compte jusqu'à 7 et on regarde sur la bande numérique) et on l'écrit».

Sonia : «Dans les classes»

M : «ça ne sert qu'à l'école ?»

Une grande partie des élèves répond non.

Steeve : «Sur la terre : c'est pareil dans d'autres pays»

M : <Il y a des pays où ils ont leurs nombres à eux. Font‑ils la même chose que nous ? Les Chinois, font‑ils la même chose que nous ?»

Élève : «Ils comptent»        

Laurie : «Pour apprendre à compter. Les Chinois ne savent pas compter. Peut‑être qu'ils font un, neuf, dix, quarante. Peut‑être qu'ils ne comptent pas dans le même ordre que nous».

M : « Il y a des enfants qui parlent en arabe. Qui peut écrire 7 ?»

M (reprise de la consigne) : « On se sert des nombres en classe. Pour quoi faire?»

Sarah: «Quand on fait des choses de mathématiques»

M : «Par exemple ?»

Sarah : «Quand on fait des problèmes de mathématiques»

M : «C'est quoi un problème ?»

Marc évoque le problème qu'ils viennent de résoudre lors du contrôle.

M : «A quoi ça servait les nombres dans le problème ?»

Elève : « A faire des plus et des moins»

Élève: : «A savoir combien il y a de gommettes.»

Wilam  : « ça sert à faire les âges»

M : «ça sert à faire quoi aux âges ?»

Élève : «Si on a vingt ans, ça sert à dire l'âge»

Élève : «Si on ne se rappelle plus ce qu'il y a avant 8, on récite 7, 8»

M : «Les papas et les mamans se servent‑ils des nombres ?»

Marc : «Pour l'argent»

 Dylan: « Il y des numéros sur l'argent. Il faut savoir compter pour savoir combien il faut payer».

 Laurie : «L'argent, ça sert à manger. Il y a des nombres sur l'argent»

M : «Dylan nous dit qu'il y a des nombres sur l'argent et Laurie nous dit qu'il y a des numéros»

 Elève : «Jusqu'à 9, c'est des numéros et si c'est 10, c'est un nombre»

M : «Pourquoi ?»

Élève : «Parce qu'il y a deux chiffres et avec deux chiffres ça fait un nombre» Élève : «Quand il y a un seul chiffre, c'est un numéro»

M : «ça sert à quoi les numéros ?»

Jame  : « A compter»

M : «Alors un nombre et un numéro, c'est la même chose ?»

Anna: «Les numéros, ça sert à compter. Ça sert à écrire»

M : «Alexandre, qu'en penses‑tu ?»

Alexandre: «Les numéros, ça sert à faire les nombres»

M : «Pour faire 10, quels numéros on utilise ?»

Alexandre: «1 et 0»

Laure‑Alexia : «C'est un chiffre»

M : «Est‑ce que c'est la même chose chiffre et numéro ? Qui saurait dire ce qui n'est pas pareil ?»

Laure‑Alexia : «Les numéros, ça s'écrit avec plusieurs chiffres et un chiffre, ça s'écrit avec un chiffre. Jusqu'à 9 on se sert de chiffres»

Un élève évoque le nombre 10 : « Si on enlève le 0, ça fait 1. Si on le remet, ça fait 10»

La maîtresse écrit au tableau 01 et 10 et demande si c'est la même chose.

Élève : « 01 c'est la date ou alors 1»

 Élève : «Si tu mets le 0 avant 1 ça va pas. Il faut le mettre après le 1 »

 Élève : «On peut aussi écrire des numéros avec des lettres»

Laure‑Alexia : «Les chiffres, ça sert aussi pour faire les numéros de téléphone, ça sert aussi pour faire les numéros sur les voitures»

Alexandre: «Comme dans les appartements» (référence au code)

Laurie : «il y en a aussi sur les motos»

M (pour permettre aux élèves de se recentrer sur la consigne) : «Quand on a construit l'école, est‑ce qu'on s'est servi des nombres ?»

 Ager «Quand on mesure»

Laure‑Alexia : «Ben oui avec le mètre»

Élève : «La taille»

 Élève : «La température pour savoir la chaleur, avec le thermomètre»

M : « Mais pourtant, quand on s'est mesuré, on a uniquement fait des traits» (La maîtresse fait référence aux repères qui permettent aux élèves de repérer leur taille)

Élève : «Sur les montres, il y a des nombres»

Élève : «Dans la poésie « Pirouette», il y a des nombres»

M : « Des nombres sur l'horloge permettent de savoir l'heure»

Elève : «Sur la télécommande de la télé, pour changer de chaîne»

M : « Il y a des nombres sur la télévision, à quoi servent‑ils ?»

Elève : «Pour savoir sur quelle chaîne on est »

 

Pour clore la séance, la maîtresse propose aux élèves qui n'ont pas pris la parole de faire une proposition.

 

Jame : «Quand on colle des gommettes on peut les compter»

Elisa évoque les bandes numériques

Sonia «Pour lire la date, à savoir la date et le mois»

Néhamat «Aussi sur l'ordinateur, il y a des nombres»

M : «A quoi servent‑ils ?»

Néhamat ne répond pas.

Anne  : «A savoir l'anniversaire»

Reine : «Sur la règle il y a des nombres»

M : «A quoi servent‑ils ?»

Élève : «A tracer»

M : «Comment fait‑on pour tracer ?»

Jason : «On ne peut pas tracer avec des nombres »

Élève : «Le 60 sert à savoir où on s'arrête»

Élève : «A faire des recettes de gâteaux»

Élève : «Pour savoir ce qu'il faut comme quantité»

Élève : « Il y en a sur les calendriers»

 

Analyse a postériori

Pratiquement tous les contextes ont été évoqués.

Néanmoins les élèves n'ont pas évoqué que le nombre pouvait servir pour mémoriser une quantité ou une position, mais peut‑être n'en ont‑il pas conscience alors qu'ils utilisent ces fonctions du nombre à l'école et ce depuis la maternelle ;

D'autre part, ils n'arrivent pas à exprimer la différence entre nombre, chiffre, numéro.

Ils ont beaucoup évoqué le contexte mathématique de la mesure.

Ils ont aussi pu évoquer le calcul : les nombres servent à calculer, à obtenir d'autres nombres.

L'enseignante a poursuivi ce travail en proposant à ses élèves des activités leur permettant de distinguer ce qu'est un nombre et ce qu'est un numéro.

 

Séquence n°5 : Pratique du langage mathématique au CE1.

 

Explique à ta manière le signe =

Démarche semblable à celle de la séquence n°3.

 

Séquence n°6 : Pratique du langage mathématique au CE2 (début d’année).

 

D’après des documents fournis par M. FENICHEL, IUFM de Créteil

 

Une retenue, qu'est‑ce que c'est ?

 1) On a calculé cette addition en colonnes :

 

 

           u

     1 6 2 5                            Explique à ta façon

+       1 3 5                            la retenue, qu'est‑ce que c'est ?

+         2 8

__________

     1 7 8 8

 

2) On a calculé cette addition en colonnes :

 

 

        u

     3 4 6 2                            Est‑ce qu'ici la retenue est la même chose que

+      3 4 3                            dans la première opération ?

+         7 3

__________

     3 8 7 8

 

Oui, c'est la même chose : .....................................................................................

 

 

Non,ce n'est pas la même chose:............................................................................

 

 

Séquence n°7 : Pratique du langage mathématique au CE1.

 

D’après des documents fournis par M. FENICHEL, IUFM de Créteil

Explique cent à ta manière

Démarche semblable à celle de la séquence n°3

 

Séquence n°8 : Pratique du langage mathématique au CM1-CM2.

 

D’après des documents fournis par M. FENICHEL, IUFM de Créteil

Explique à ta manière pourquoi il y a un zéro dans 502.

 

La veille, les élèves avaient eu à répondre par écrit à la question suivante :

 «Explique à ta manière pourquoi il y un 0 dans 502»

 

18 élèves ont répondu « S'il n'y avait pas de 0, cela ferait (ou, pour certains, se lirait) 52.

4 élèves ont répondu « Parce qu'il n'y a pas de dizaine ».

2 élèves ont fait référence au tableau de numération : c d u

1 élève a écrit 502 = 500 + 2

1 élève a écrit, s'il y avait 1 à la place de 0, ça ferait 512.

 

Au tableau sont écrites les différentes propositions numérotées

1) Parce que s'il n'y avait pas de 0, on lirait cinquante-deux.

2) Parce qu'il n'y a pas de dizaine.

3) Parce que c'est un nombre à trois chiffres, c'est‑à‑dire une centaine, une dizaine, une unité. On est obligé de mettre la dizaine.

4) Parce que normalement 500 possède deux zéros. Si on ajoute 2 à la place du dernier zéro, ça fait 502.

5) Parce que s'il y avait 1 à la place du 0, ça ferait 512.

 

M : «Vous allez lire ces propositions, y réfléchir. En particulier celles qui n'étaient pas votre réponse. Ensuite, on va débattre sur ce qui vous semble correct ou incorrect». Elle rappelle les règles d'organisation de la classe durant un débat. M : «Qui a une remarque à faire ? Qu'est‑ce qui vous semble correct ou évident ?» E1 : «La première» E2 : «La deuxième» E3 : «La troisième» E4 : «La première» E5 : «La cinquième»

M : «On va les prendre une à une».

 

Séquence n°9 : Pratique du langage mathématique au CM2. 

 

Est-il possible de construire un triangle qui a deux angles droits ?

 

Objectif.

Faire ressortir la propriété suivante : deux droites perpendiculaires à une troisième droite sont perpendiculaires entre elles.

 

Séquence n°10: Résoudre des problèmes numériques oraux au cycle 2 (GS, CP et CE1).

Les problèmes ne doivent pas être assimilés à des énoncés écrits et on veillera à varier la façon dont ils sont proposés aux élèves :

        la question peut être posée oralement à partir d’une situation matériellement présentée aux élèves, ce qui offre l’avantage de permettre ensuite une vérification expérimentale de la réponse élaborée ;

        la situation support peut être décrite oralement, accompagnée de quelques éléments importants écrits au tableau.

Les avantages de la démarche sont les suivants :

-         l’oral est privilégié, l’écrit est exclu, sauf les écritures mathématiques de la réponse ;

-         pour les élèves en difficulté, cela permet de sortir de la situation « je ne sais pas faire ».

Selon le niveau, les modalités suivantes peuvent être adoptées :

1. En GS. Les problèmes oraux sont proposés avec du matériel (petits objets correspondant au problème) :

- avec manipulation directe dans un premier temps (individuelle ou collective) ;

- puis avec anticipation (manipulation collective puis réflexion avec utilisation éventuelle de la bande numérique).

Cela concerne les problèmes de transformation (recherche de l’état final) et de réunion partie-tout (recherche du tout).

2. Au CP. Les problèmes oraux sont proposés selon les trois modalités suivantes :

- avec manipulation directe sur du matériel ;

- avec des dessins sur feuille ;

- avec anticipation (avec la possibilité ou non de faire des schémas ou des dessins et d’utiliser la bande numérique ou les cartes à points).

Cela concerne les problèmes de réunion partie-tout et de transformation (recherche de l’état final et début de recherche de l’état initial ou de la transformation).

3. Au CE1. On reprend ce qui a été fait au CP avec une évolution progressive vers le calcul.

Cela concerne les problèmes de réunion partie-tout, de transformation d’état (recherche de l’état final, de la transformation ou de l’état initial) et de comparaison (de plus, de moins ; cas simples).

 

Un exemple au CP

Synthèse effectuée par G. Gérome à l’issue du travail réalisé durant l’année scolaire 2004-2005.

 

Objectif général

Comprendre le sens (littéral et mathématique) d'une situation exposée oralement afin de répondre à une question.

 

Mode de mise en oeuvre

Séances courtes (30 minutes maximum) classe entière et parfois par demi‑classe. Durant une séance, deux situations sont traitées (3 au maximum)

 

Déroulement

La méthodologie de la passation est rappelée aux élèves.

Le texte est lu par le maître trois fois de suite. La première fois permet une écoute « libre » (écoute « inactive »),  les deux suivantes permettant d'exécuter les opérations nécessaires (2ème lecture : utilisation du matériel disponible ; 3ème lecture : vérification avec le matériel).

Les élèves disposent de la bande numérique, de jetons, d'une feuille vierge selon leur choix de départ ou les conseils du maître.

Chaque élève donne sa réponse (ou son absence de réponse).

Les réponses sont notées au tableau et explicitées par ceux qui les ont fournies. Lors des explications, le maître établi un parallèle entre le texte du problème et les actions des élèves afin de déterminer l'action pertinente (schémas, écritures mathématiques,…).

 

Vocabulaire

Forme verbales pouvant déterminer des opérations mathématiques : gagner ; perdre ; enlever ; ajouter ; prendre ; enlever ; rester. Travail sur l'ambiguïté du sens de ces verbes selon la question posée (le verbe ajouter peut, dans certains cas aboutir à une soustraction.

Mots induisant des comparaisons de quantité : en plus ; en moins ; autant.

Mots portant sur la distribution : chaque ; chacun(e) ; tous ; tous les.

Marqueurs de temps : avant; après.

 

Structures de problèmes envisagées

L'objet de la recherche précède l'énoncé.

Différencier addition et soustraction (sens des opérations).

Réaliser plusieurs opérations successives.

 

Série 1

 

Objectif :

Différencier addition et soustraction (sens) ;

Additions successives ; additions et soustractions successives.

Forme : La question est au début

Vocabulaire : Gagner; perdre ; chacun.

 

1. Vous allez devoir trouver le nombre de salades plantées. M. Lebrun plante des salades dans son jardin. Il fait trois rangées. Une rangée de 7 salades, une rangée de 5 salades et une rangée de 7.

Erreur possible : Intégration du nombre de rangées dans le calcul.

 

2. Vous allez devoir trouver le nombre de billes que Julien rapporte chez lui. Julien arrive à l'école avec 18 billes dans son sac. Il en perd 7 à la récréation et en gagne 4 à la pause. En rentrant chez lui, il en trouve 1.

Erreur possible: Oubli de la bille trouvée.

 

3. Vous allez devoir trouver combien de livres il reste au maître.

Le maître a 20 livres de lecture. Il en donne un à chacun de ses 16 élèves.

 

4. Vous allez devoir trouver combien Victor a distribué de bonbons.

Victor a apporté des bonbons à l'école. Il réunit ses trois copains : Paul, Clément et Romain. Il donne 3 bonbons à chacun.

 

5. Vous allez devoir trouver combien la maîtresse a d'élèves. Mme Durand donne une gomme à chacun de ses élèves. Elle a 14 gommes. Quand elle a fini de distribuer, 5 élèves n’ont pas de gomme.

 

Série 2

 

Objectif

Différencier addition et soustraction (sens)

Forme : La question est au début

Vocabulaire: Sens des mots : chaque, chacun ; tous,tous les

 

1. Vous allez devoir trouver le nombre de dossards que M. Dépalles a distribués. En gymnastique, M. Dépalles distribue un dossard a chacun de ses élèves. Il donne 8 dossards rouges, 7 dossards bleus et 4 dossards verts.

 

2. Vous allez devoir trouver le nombre de mandarines qui étaient dans la coupe avant l'anniversaire. À l'anniversaire de Colette, il y a 5 enfants. Chaque enfant a mangé deux mandarines et il en reste 3 dans la coupe à fruit.

Remarque : Difficulté pour « remonter » à la situation de départ, refus de prendre en compte des mandarines qui ont été mangées.

 

3. Vous allez devoir trouver le nombre de petites voitures que le petit frère de Guillaume a cachées. Le petit frère de guillaume lui dit : « Tu as été méchant avec moi, alors je t'ai caché tes voitures ».  Pour vérifier, Guillaume recompte sa collection. Il en trouve 14. Mais il en avait 19.

Remarque : Difficulté pour « remonter » à la situation de départ.

 

Série 3

 

Objectif :

Trouver les questions que l'on peut se poser ;

Différencier addition et soustraction (sens) ;

Additions successives

Forme: Pas de question

Vocabulaire: Identité du vocabulaire, seul change la nature des données numériques.

 

1. Dans sa boîte de billes, Kévin range sa collection. Il compte ses billes, il en trouve 21. Il ajoute les 8 billes qu'il a gagnées aujourd'hui.

 

2. Dans sa boîte de billes, Kévin range sa collection. Il ajoute les 8 billes qu'il a gagnées aujourd'hui. Puis il compte toutes ses billes. Il en a 29.

 

3. Dans sa boîte de billes, Kévin range sa collection. Il avait 21 billes ce matin. Ce soir, il en a 29.

 

Remarque : Difficulté pour les élèves de CP de travailler sur trois situations qui renferme les mêmes données numériques. Brouillage des situations par la permanence des données

                                          

Remarques générales agrès la réalisation de toutes les séances

Les élèves deviennent de plus en plus attentifs à l'énoncé des situations.

Ils deviennent « méfiants » vis à vis des mots utilisés.

Il a quelquefois fallu matérialiser des situations, en particulier autour des termes de distribution qui ont été travaillés à part lors de moments spécifiques d'exécution de consignes en classes (distribuer 1, 2, 3 objets à chaque élève ; distribuer un objet pour deux ou un objet par groupe, etc.)

Les situations les plus difficiles restent celles où on demande après l'exposé de transformations de retrouver la situation de départ.

Des tentatives ont été faites de faire lire les textes par des élèves ce qui a fait ressortir l'importance du respect de la ponctuation, de la scansion, de l'articulation et de la vitesse de lecture.

 

Un exemple au CE1

Travail effectué par C. Laybros , PE2 2004-2005, au cours de son dernier stage en responsabilité (Ecole E. Busseron à Commentry).

Les énoncés des problèmes proposés :

 

1. Nous allons chercher combien de paquets de bonbons Paul et Virginie peuvent acheter à Sandra. Paul et Virginie ont 10 euros. Ils veulent acheter des bonbons pour l’anniversaire de Sandra. Un paquet de bonbons coûte 2 euros.

 

2. Une maîtresse fait des équipes dans sa classe. Nous allons chercher combien il y aura d'élèves par équipes. Dans sa classe, il y a 20 élèves et la maîtresse veut faire 4 équipes.

 

3. Nous allons chercher combien d’argent Manon et Max avaient avant d’acheter les 6 oeufs au chocolat.

Manon et Max ont fait des économies. Un oeuf au chocolat coûte 2 euros. Manon et Max ont pu en acheter 6 avec leurs économies et il leur reste 1 euro.

 

4. Nous allons chercher si Sylvie assez d'argent pour acheter un vase. Sylvie veut acheter un vase. Ce vase coûte 85 euros. Elle a un billet de 20 euros, 4 billets de 10 euros et trois billets de 5 euros.

 

5. Dans cet exercice nous allons chercher combien il y a d'élèves sans lunettes dans une classe. Dans une classe de 29 élèves, 11 enfants ont des lunettes. Tous les autres élèves n'ont pas de lunettes.

 

6. Cherchons combien il y a de bonbons à l'orange dans le paquet acheté par Marie. Marie achète 20 bonbons. Dans ces 20 bonbons, il y a 5 bonbons à la fraise et 7 bonbons au citron. Les autres bonbons sont à l'orange.

 

7. Nous allons chercher combien Pierre a gagné de billes en jouant. Pierre avait 11 billes avant de jouer. Après le jeu, Pierre a deux fois plus de billes.

Démarche utilisée :

1ère étape :

L’enseignante explique aux élèves ce qu’ils vont devoir faire :

« Je vais vous dire un problème. Il faudra être attentif. Je noterai quelques informations au tableau pour vous aider. Pour résoudre ce problème, je vais vous donner une feuille blanche sur laquelle vous noterez tout ce que vous voudrez. Mais attention, ne notez rien avant que je vous dise de commencer. Vous aurez 10 minutes. Je vais répéter el problème deux fois ».

2ème étape :

L’enseignante lit l’énoncé du problème. A la première lecture, elle n’écrit rien au tableau, puis, lors de la seconde, elle note quelques informations. Par exemple, pour l’énoncé n°1, elle note sous « Paul et Virginie » : 10 euros et sous « un paquet de bonbons » : 2 euros.

Chaque élève effectue sa recherche individuellement. Pour certains problèmes utilisant la monnaie, des pièces et des billets peuvent être mis à la disposition des élèves (ou de certains élèves en difficulté).

3ème étape :

L’enseignante demande aux élèves d’expliquer ce qu’ils ont trouvé et on procède à une correction collective en insistant sur la phrase-réponse.

 

Séquence n°11 :  Comprendre ce qu’est un problème (classe de CE1 ou CE2).

D’après un article de J. Vasselon et M. Sarrouy 

Bulletin de l’APMEP n°453 Septembre-octobre 2004

 

A. Résolution individuelle du problème :

 Loïc a 32 billes. À la récréation il perd 10 billes. Combien lui en reste‑t‑il à la

fin de la récréation?

 B. Correction collective du problème

 On raconte l'histoire de Loïc, collectivement on construit le récit à partir de l'énoncé et de la nouvelle information (combien lui en reste‑t‑il ?).

Exemple : Loïc avait 32 billes, mais, en jouant à la récréation, il en a perdu 10 et maintenant il a 22 billes.

Question : Que pourrait‑on enlever de ce récit pour faire de nouveaux problèmes?

 • Loïc avait 32 billes avant la récréation, il en a 22 après. Combien a‑t‑il perdu de billes ?

 • Loïc a perdu 10 billes en jouant à la récréation. Il lui en reste 22. Combien avait‑il de billes avant de jouer ?

 C. Par groupe de trois, et à partir d'un récit

 On demande aux élèves de transformer un récit en énoncé de problème. Ensuite ils résolvent ce même problème.

 Les récits sont les suivants :

 1. Au jeu de l'oie, Noémie était d'abord sur la case 45 ; elle a lancé les dés qui lui ont indiqué qu'elle devait avancer de 10 cases. Maintenant elle est sur la case 55.

 2. Léa a acheté 38 perles pour faire un collier. Elle a mis 26 perles rouges et 12 perles bleues.

 3. Julie a 36 petites voitures. Ali en a 3 de plus qu'elle. Il a donc 39 petites voitures.

 4. Dans un panier, il y avait 27 noisettes. Nicolas en a mangé 6. Il reste maintenant 21 noisettes dans le panier.

 5. Dans la classe, il y a 15 filles et 12 garçons. Cela fait 27 élèves.

 6. Marion a collé ses 12 photos dans son album. L'album a 4 pages, elle a mis 3 photos sur chaque page.

 7. La maîtresse a acheté 5 dictionnaires à 10 euros chacun. Elle a donc payé 50 euros.

 D. Phase collective

 Trace écrite (affiche, tableau, ...) à partir de la question : Qu'est‑ce qu'un problème ?

 

Exemples de productions d'élèves (classe de P. Cury CE1, Ecole J. Moulin à Avermes)

 

 

Séquence n°12 :  Comprendre ce qu’est un problème (classe de CM1 ou CM2)

Reprendre la démarche de la séquence n°7, à partir de l’énoncé :

Un cycliste court sur une piste de 400 m. Il fait 2 tours de piste par minute et il roule pendant 56 minutes. Quelle distance parcourt-il ?

En outre, on pourra demander pour la résolution de poser une question intermédiaire.

 

Séquence n°13 :  Se poser des questions mathématiques à partir d’une image (GS et CP).

Au marché

 

 

Extrait de Millemaths GS Nathan

Le poster est constitué d'une seule scène (le marché) composée de plusieurs parties significatives qui peuvent être exploitées avec les élèves: l'étalage du marchand de fruits, légumes et oeufs, le stand installé par la fleuriste et la file d'attente des enfants.

PISTES DE TRAVAIL

 Dénombrer des collections

La situation présentée se prête facilement au dénombrement de collections : on pourra ainsi faire compter le nombre de melons, le nombre de poires, le nombre d'oeufs, le nombre de pots de muguet et le nombre d'enfants. Selon les capacités des élèves, deux méthodes de dénombrement peuvent être utilisées

 • le comptage un à un, en utilisant les principes du comptage. C'est la première démarche qui vient à l'esprit et elle est la seule utilisable pour des collections qui sont importantes et qui ne sont pas organisées (les pots de muguet et les enfants) ;

 • la perception de groupements de dix. Si on observe bien la disposition des melons, des poires et des neufs, on constate une organisation par dix, en caissettes de 10 cases. Cela permet d'obtenir directement le nombre d'objets : par exemple, il y a une caissette pleine de 10 melons et une caissette incomplète de 7 melons. Cela fait 17 melons. Cette démarche, moins spontanée, est très performante et mérite d'être mise en valeur.

 

Comparer des collections

 La scène présentée sur ce poster permet aussi d'aborder le thème de la comparaison des collections. Autrement dit, il s'agit de savoir où il y a «le plus » ou bien s'il y a « autant » . Au passage, il faudra veiller à la bonne compréhension de ces termes (assez, autant...) qui ne sont guère familiers aux élèves, dans leur compréhension mathématique.

 

Séquence n° 14 : Ecrire un texte pour reconnaître un triangle (CM1-CM2).

Extrait de "Donner du sens aux Mathématiques",  tome 1: Espace et géométrie  N. PFAFF, M. FENICHEL et M. PAUVERT, IUFM de Créteil.

 

Objectif

Découvrir quelques types de triangles : triangle isocèle, triangle rectangle.

 

Matériel

Chaque élève dispose d'une feuille sur laquelle des figures sont tracées : trois quadrilatères (un quadrilatère ayant un angle droit, un quadrilatère ayant deux côtés de même longueur et un quadrilatère ayant deux côtés de même longueur et un angle droit), un triangle équilatéral, un triangle rectangle non isocèle, un triangle rectangle isocèle, un triangle isocèle non rectangle, deux triangles scalènes (ni rectangles, ni isocèles).

Pour la moitié des élèves, le triangle rectangle non isocèle est entouré; pour l'autre moitié, le triangle isocèle non rectangle est entouré. De plus, les figures ne sont pas placées au même endroit sur les feuilles des deux groupes. La règle graduée et l'équerre sont interdites, mais chaque  élève dispose d'un gabarit d'angle droit et d'une bande de papier pouvant faire office de gabarit de longueur ou d'un compas pour reporter les longueurs.

 

 

Déroulement

Il s’agit d'une activité d'émission‑réception. Chaque élève doit rédiger un message avec des mots permettant à un élève de l'autre groupe de reconnaître la figure entourée. Aucun dessin n'est permis sur le message. A la réception du message, chaque élève doit reproduire, sur papier calque, la figure qu'il pense avoir reconnue. Le travail peut être proposé par groupes de deux.

 

1ère phase : émission du message

 

Avant que les élèves ne se lancent dans la rédaction du message, l'enseignant doit insister sur le fait que les figures ne sont pas placées au même endroit pour tout le monde.

Pour décrire la figure entourée, les élèves doivent identifier les caractéristiques qui la distinguent des autres figures, en particulier le fait qu'elle soit un triangle. Mais cette caractéristique ne suffit pas. Les triangles doivent être analysés. Les longueurs des côtés ne sont pas mesurables puisque la règle graduée est interdite. En revanche, elles sont comparables grâce au gabarit de longueur. Ainsi, les deux triangles ayant deux côtés de même longueur et deux seulement sont identifiables. De même, le gabarit d'angle droit permet de distinguer les deux triangles ayant un angle droit. Chacune des catégories (triangles isocèles et triangles rectangles) contient deux triangles. Le triangle à décrire est un de ceux‑là. Le triangle isocèle peut être distingué de l'autre, soit en comparant les longueurs des troisièmes côtés des deux triangles, soit en identifiant la non‑présence de l'angle droit. Le triangle rectangle peut être distingué de l'autre, soit en identifiant la non‑présence de deux côtés de même longueur, soit en comparant les longueurs des côtés des triangles entre eux.

 

2ème phase :  réception du message

 

À partir du message reçu, chaque élève doit reconnaître une des figures sur la feuille lui ayant servi dans la phase d'émission. En posant le papier calque sur la figure reconnue, il la reproduit.

 

3ème phase :  validation

 

Les figures reproduites sur papier calque sont renvoyées aux émetteurs pour vérification.

 

4ème phase : mise en commun

 

Dans un premier temps, il s'agit d'identifier les élèves ayant rédigé un message ayant permis à l'autre de reconnaître la figure. En repérant préalablement les erreurs dans les messages, l'enseignant peut choisir certaines d'entre elles pour les analyser. Cette analyse doit faire ressortir la nécessité d'utiliser des propriétés géométriques telles que l'identification des triangles et les différents types de triangles. Quelques messages valides sont explicités pour compléter cette prise de conscience des différents types de triangles.

 

5ème phase : institutionnalisation

 

À l'issue de cette mise en commun, l'enseignant apporte le vocabulaire mathématique : triangle rectangle, triangle isocèle.

 

 

Figures proposées à une moitié de la classe :

 

 

 

Figures proposées à l’autre moitié de la classe :

 

 

 

 

 

Séquence n° 15 : Ecrire un texte pour décrire ou construire une figure (CM1-CM2).

Extrait de « Travaux géométriques. Apprendre à résoudre des problèmes. Cycle 3 »   IREM de Lille

 Présentation de la situation

 La classe est partagée en deux. Chaque élève de la première moitié reçoit le modèle 1 et chaque élève de la seconde, le modèle 2 (voir les modèles plus loin). Il s'agit d'abord de reproduire le modèle dont on dispose, puis d'en établir un programme de construction. A l'aide de ces programmes, les élèves de la classe qui n'ont pas vu le modèle en question doivent le reconstruire. Les programmes seront ainsi effectivement mis à l'épreuve, critiqués et réajustés si nécessaire.

    

    

                    Modèle 1                                                                  Modèle 2                            

    

 

Notions mathématiques en jeu

 Propriétés du carré.

Longueur d'un segment de droite.

Milieu d'un segment de droite.

 

Compétences visées

Décrire et reproduire une figure géométrique.

Identifier une figure de base dans une figure complexe.

Choisir et utiliser les instruments du dessin et de mesure.

Utiliser à bon escient le vocabulaire géométrique précis.

 

Objectifs

 Mettre les élèves en situation de :

‑  prendre conscience de la nécessité d'analyser un modèle.

‑  mener l'analyse d'un modèle donné dans le but de ramener le travail de reproduction à la construction de points identifiés comme milieux de segments de droites; « marquer » le milieu d'un segment de droite par mesurage.

‑  valider la démarche suivie.

‑   communiquer la méthode utilisée pour la reproduction d'une figure géométrique.

-     rédiger un programme de construction d'une figure géométrique destinée à autrui ne disposant pas du modèle; critiquer et argumenter en vue d'une bonne lisibilité par les récepteurs.

 

 

Déroulement

  Séance 1

    Première partie : reproduction des modèles

 

Consignes

Activité des élèves.

 Compétences sollicitées

Difficultés.

 Indications pour des interventions du maître

Appropriation du problème.

Recherche individuelle.

 

Chaque élève doit décrire en quelques lignes le modèle qu'il possède, puis reproduire ce modèle. « Vous pouvez utiliser la règle graduée, l'équerre et le compas. Vous devez ensuite découper la figure obtenue le long des côtés du grand carré.

Par quatre, en plaçant vos figures les unes près des autres, vous devez obtenir l'une des deux mosaïques que je vous montre ».

Matériel :

Instruments usuels de dessin dont une règle graduée.

Modèles des figures 1 et modèles des figures 2 en nombre suffisant (voir les modèles plus haut).

Modèles des mosaïques A et B (voir les modèles plus loin) destinés respectivement aux groupes possédant le modèle 1 et aux groupes possédant le modèle 2.

Chaque élève repère et note les éléments figuraux qui composent le modèle dont il dispose, il reproduit celui‑ci à l'aide des instruments de dessin et de mesure qu'il aura choisis.

Les figures produites sont alors découpées suivant leur contour.

 

 

 

 

Le carré intérieur n'étant pas identifié, le modèle 1 est décrit comme un carré et quatre triangles.

 

 

 

 Certains élèves se lancent dans les constructions sans penser à l'analyse du modèle dont ils disposent et sans référence à la mosaïque qu'ils doivent obtenir.

 

Contrôle de conformité au modèle.

Critique des productions.

Réajustements

Le maître distribue aux groupes le modèle de la mosaïque qui correspond au modèle qu'ils devaient reproduire.

« Par quatre, vous allez disposer vos dessins pour voir si vous obtenez précisément le modèle de la mosaïque ».

 

Travail par groupe de quatre.

Echanges entre pairs

 

Dans chaque groupe, les élèves juxtaposent leurs productions pour réaliser une mosaïque qui doit être conforme au modèle agrandi qui est affiché. Ils critiquent les descriptions produites et les constructions réalisées. Ils procèdent aux réajustements nécessaires

 

 

 

 

A partir des assemblages réalisés par groupe de quatre, l'enseignant, en s'appuyant sur les modèles de mosaïque, aide les élèves à remettre en question les tracés réalisés sans analyse.

 

 

 

Deuxième partie: élaboration des messages

 

Phases de l'activité. Consignes

Activité des élèves.

 Compétences sollicitées

Difficultés.

 Interventions du maître

Travail par groupes de deux.

Établissement d'un programme de construction. « Vous allez écrire le programme de construction qui permettra aux élèves de l'autre groupe de construire votre modèle ».

Être capable de se décentrer, de se mettre à la place du récepteur du message.

Etre capable de passer d'une figure à un texte, ce qui suppose le respect d'une chronologie. L’utilisation d'un vocabulaire précis et adapté.

La présentation d'un texte

• cohérent

• qui progresse

• qui donne des informations précises

Les élèves éprouvent des difficultés à élaborer et utiliser un vocabulaire adapté, dont la nécessité se fera ressentir.

La médiation du maître intervient pour

‑ reformuler des termes vagues ou ambigus.

‑ aider à écrire des phrases correctes (domaine de l’expression écrite).

- reprendre la chronologie des étapes.

On peut aussi faire une première mise en commun par groupe de quatre. Dans ce cas, les élèves devront se mettre d'accord sur un texte commun, tenant compte des deux propositions. Le maître veillera à ce qu'il ne s'agit pas de la simple recopie d'un des deux messages, sans discussion

 

                                                                                                                                  

                                                                                                                                    

    

Séance 2

 

Première partie : réception des messages. Réalisation des constructions

 

Phases de l'activité. Consignes

Activité des élèves.

 Compétences sollicitées

Difficultés.

 Interventions du maître

Travail individuel:

 

‑  construction de figures suivant un programme.

‑ critiques des productions écrites.

La classe est répartie de sorte que chaque groupe de deux soit à la fois émetteur et récepteur d'un même groupe pour faciliter l'échange.

 

« Vous allez construire le modèle dont vous avez le programme. Respectez

exactement ce qui est indiqué. Notez vos remarques concernant les

messages. En cas de difficulté, vous préciserez ce que vous n'avez pas compris. »

 

 

 

Les élèves doivent construire le modèle qu'ils n'ont pas eu à reproduire.

 

 

 

- Aide éventuelle à la lecture(reformulation), des expressions mal comprises lors de la découverte du programme.

- La lecture oralisée du maître peut aider les enfants en difficulté de lecture.

- Aider les enfants à respecter l'ordre indiqué.

 

                       

 

Deuxième partie : confrontation émetteur‑récepteur. Conclusion

 

 

Phases de l'activité. Consignes

Activité des élèves.

 Compétences sollicitées

Difficultés.

 Interventions du maître

Échanges entre élèves émetteurs‑récepteurs (travail par deux)

‑ validation des modèles construits.

‑ critique des textes produits.

‑ critique des modèles réalisés.

‑ réajustement des textes si nécessaire.

À tour de rôle, les élèves valident les constructions de leurs camarades. Ces derniers critiquent les programmes, se justifient, argumentent toujours en rapport avec texte et dessins (remise en question de la démarche et de la formulation de la procédure).

Ils réélaborent un message commun si besoin.

 

Favoriser les échanges verbaux et la justification.

Mise en commun (travail collectif)

« Quelles remarques peut‑on faire après vos échanges ? »

‑Remettre en évidence certaines propriétés des figures pour éviter les surcharges d'écriture.

‑ Essayer d'élaborer le programme de construction le plus correct possible.

 

Structurer, rendre compte des difficultés.

Employer un vocabulaire précis, limité et des notations utiles. Utiliser des verbes ou des mots spécifiques, dont la nécessité s'est fait sentir. Éviter les informations inutiles.

Exemple : un carré a obligatoirement quatre côtés égaux et quatre angles droits.

Établir la nécessité d'analyser la figure de départ.

Rédiger un programme de

construction par la dictée au maître.

 

 

 

 

                                                                     

    

                                                                     

    

Mosaïque Modèle A

 

                                                                                    Mosaïque Modèle B                                              

 

Séquence n° 16 : Ecrire un texte pour décrire une bande dessinée géométrique (CE2-CM1-CM2).

1. Comment cela se présente-t-il ?

Une bande dessinée géométrique décrit une « histoire géométrique » qui se présente sous la forme de trois, quatre ou cinq carrés. En fait, la bande dessinée est une histoire à suivre.

Il faut décrire ce qui se passe à l’intérieur des carrés. Attention, la description doit être compréhensible pour permettre à quelqu’un qui la lit de pouvoir faire correctement les dessins.

 

2. Quelques remarques

·      Si on donne uniquement la description à quelqu’un, il va être capable de faire les dessins complets. En fait, avec la description entière, on doit être capable de faire le dernier dessin, c’est à dire celui qui se trouve dans le carré n° 4.

 

·      On ne recommence pas pour le carré n° 2 la description du carré n° 1, car l’histoire se poursuit.

 

·      On doit utiliser un vocabulaire géométrique précis.

 

·      La description doit être précise car on ne doit pas obtenir une autre figure que celle proposée

 

 

3. Des exemples.

 

Exemple 1.

 

 

 

 

1

2

3

 

Exemple 2.

 

1

2

3

 

4

 

  

Exemple 3.

  

1

2

3

 

4

 

  

Exemple 4.

  

1

2

3

 

4

5

 

 

 

 

Poésie et Mathématiques

Droite

Au moins pour toi,
Pas de problème.

Tu crois t'engendrer de toi-même
A chaque endroit qui est de toi,

Au risque d'oublier
Que tu as du passé,
Probablement au même endroit.

Ne sachant même pas 
Que tu fais deux parties
De ce que tu traverses,

Tu vas sans rien apprendre
Et sans jamais donner.

Guillevic - Euclidiennes  1967

_________________________________________________________

Carré

Chacun de tes cotés
S'admire dans les autres.

Où va sa préférence?
Vers celui qui le touche
Ou vers celui d'en face?

Mais j'oubliais les angles
Où le dehors s'irrite

Au point de t'enlever
Les doutes qui renaissent.

Guillevic - Euclidiennes  1967

 _________________________________________________________

Le carré pointu

Le carré à quatre côtés
Comme le monde.
On dit pourtant que la terre est ronde
Comme ma tête
Ronde et monde et mappemonde
Un anticyclone se dirigeant vers le Nord-Ouest.
Le monde est rond, la terre est ronde.
Mais elle est, mais il est
Quatre fois pointu
Est Nord Sud Ouest
Le monde est pointu
La terre est pointue
L’espace est carré

Desnos - La géométrie de Daniel 

 _________________________________________________________

Triangle isocèle

J'ai réussi à mettre
Un peu d'ordre en moi-même

J'ai tendance à me plaire.

Guillevic - Euclidiennes  1967

_________________________________________________________

Triangle équilatéral

Je suis allé trop loin
Avec mon souci d'ordre.

Rien ne peut plus entrer.

Guillevic - Euclidiennes  1967

_________________________________________________________

Triangle rectangle

J'ai fermé l'angle droit
Qui souffrait d'être ouvert
En grand sur l'aventure.

Je suis une demeure
Où rêver est de droit.

Eugène Guillevic - Euclidiennes  1967

_________________________________________________________

Mathématiques 

Quarante enfants dans une salle, 
Un tableau noir et son triangle, 
Un grand cercle hésitant et sourd 
Son centre bat comme un tambour. 

Des lettres sans mots ni patrie 
Dans une attente endolorie. 

Le parapet dur d'un trapèze, 
Une voix s'élève et s'apaise, 
Et le problème furieux 
Se tortille et se mord la queue. 

La mâchoire d'un angle s'ouvre. 
Est-ce une chienne ? Est-ce une louve ? 

Et tous les chiffres de la terre, 
Tous ces insectes qui défont 
Et qui refont leur fourmilière 
Sous les yeux fixes des garçons. 

Gravitations, 1925  Jules Supervielle 
(Montevideo, 1884 - Paris, 1960) 

_________________________________________________________

Point 

Je ne suis que le fruit peut-être
De deux lignes qui se rencontrent.

Je n'ai rien

On dit : partir du point,
Y arriver.

Je n'en sais rien.

Mais qui
M'effacera ?

Guillevic - Euclidiennes  1967

Une illusion d'optique : si vous fixez les points blancs du centre de l'image, alors ceux du bord de l'image vous semblent noirs.

 

_________________________________________________________

Parallèles

On va, l’espace est grand,
On se côtoie,
On veut parler.

Mais ce qu’on se raconte
L’autre le sait déjà,
Car depuis l’origine
Effacée, oubliée,
C’est la même aventure.

En rêve on se rencontre,
On s’aime, on se complète.
On ne va plus loin
Que dans l’autre et dans soi.

Eugène Guillevic - Euclidiennes  1967

_________________________________________________________

Perpendiculaire

Facile est de dire
Que je tombe à pic.


Mais c'est aussi sur moi
Que l'autre tombe à pic.

Eugène Guillevic - Euclidiennes  1967

_________________________________________________________

Un rectangle

Un rectangle se voulait carré,
ce qui l'obligeait à maigrir.
Il se mit à réfléchir
pour découvrir un procédé
capable de réajuster
la démesure de ses flancs...

 

Et le voilà glissant glissant
se retournant de droite à gauche
tant et tant, tant et tant et tant
qu'il ne parvint qu'à s'arrondir!


En découvrant qu'il était rond
le rectangle voulut mourir.
C'est pourtant beau d'être un ballon
lorsqu'on s'envole vers le ciel
mais s'il faut être honoré
par de violents coups de pieds
il vaut mieux rester carré.

Pierre Béarn (« 300 Fables d'aujourd'hui »)

_________________________________________________________

Le rond et l’étoile

Pour faire une étoile à cinq branches

Ou à six ou davantage

Il faut d'abord faire un rond

Pour faire une étoile à cinq branches...

Un rond !

On n'a pas pris tant de précaution

Pour faire un arbre à beaucoup de branches

Arbres qui cachez les étoiles !

Arbres!

Vous êtes pleins de nids et d'oiseaux chanteurs

Couverts de branches et de feuilles

Et vous montez jusqu'aux étoiles !

Robert Desnos  La géométrie de Daniel

_________________________________________________________

Par un point situé sur un plan…

Par un point situé sur un plan

On ne peut faire passer qu'une perpendiculaire à ce plan.

On dit ça...

Mais par tous les points de mon plan à moi

On peut faire passer tous les hommes, tous les animaux de la terre.

Alors votre perpendiculaire me fait rire.

Et pas seulement les hommes et les bêtes

Mais encore beaucoup de choses

Des cailloux

Des fleurs

Des nuages

Mon père et ma mère

Un bateau à voiles

Un tuyau de poêle

Et si cela me plaît

Quatre cents millions de perpendiculaires.

Robert Desnos  La géométrie de Daniel

_________________________________________________________

L’anneau de Möbius

Le chemin sur lequel je cours

Ne sera pas le même quand je ferai demi-tour

J'ai beau le suivre tout droit

Il me ramène à un autre endroit

Je tourne en rond mais le ciel change

Hier j'étais un enfant

Je suis un homme maintenant

Le monde est une drôle de chose

Et la rose parmi les roses

Ne ressemble pas à une autre rose.

Robert Desnos  La géométrie de Daniel

_________________________________________________________

L’angle sous lequel…

L'angle sous lequel...

Et d'abord quel angle ?

Je n'en veux pas connaître d'autre

Que celui où j'appuie ma tête

Quand je m'y colle à cache-cache.

Angle tu m'étrangles

Belle Angleterre de légendes

Tu m'englobes, tu m'engloutis

Mes yeux fermés

Ma nuit à moi

L'angle sous lequel...

Robert Desnos  La géométrie de Daniel

_________________________________________________________

 Le tétraèdre amoureux

 

Un tétraèdre élémentaire,

pas même régulier,

vivait heureux à sa manière

et de quelques simples faces triangulaires,

savait se contenter.

Un jour qu’il allait à la ville,

clopin-clopant sur ses sommets

– Ne riez pas ! Cela n’est point facile –

il tomba amoureux, foudroyé

d’une superbe émeraude taillée

qui resplendissait de ses mille facettes.

 

Il offrit en gage à la belle coquette,

dans l’espoir d’un sourire, un bouquet d’arcs-en-ciel

en jouant au prisme avec le soleil.

L’altière gemme n’en montra que mépris :

« Que voudriez-vous donc que l’on fît

des grotesques tours de passe-passe

de vos quatre ridicules faces ? »

 

Au lieu d’abandonner sagement l’orgueilleuse

à son affèterie prétentieuse,

le tétraèdre, ensorcelé,

résolut de se faire modeler

par quelque habile lapidaire.

L’émeraude resta de pierre

et, se moquant de ses efforts,

railla en lui comptant les dièdres :

« Octaèdre ?... Dodécaèdre ?... Icosaèdre ?

Fi ! Vous pouvez bien vous sectionner encore ! »

Le soupirant éconduit s’obstina.

Pour vivre jusqu’au bout son rêve,

plein d’acharnement, s’en retourna

au polissoir, se faire poncer sans trêve.

Tant et si bien qu’il devint sphère.

Lors, il roula dans la poussière

et, jusqu’à la mer, emporté,

s’y engloutit à tout jamais.



Jeunes gens, méditez l’infortune cruelle

du pauvre tétraèdre, amoureux trop zélé.

Si vous croisez un jour, semblable péronnelle,

n’usez point d’artifice et fuyez de tels rets.

Monique Mérabet          Mathifolades

_________________________________________________________

Géométrie

 

Deux droites parallèles
Depuis longtemps s'aimaient.
- Nous toucher, disaient-elles.
Le pourrons-nous jamais ?
Messieurs les géomètres
Nous parlent d'infini ;
C'est bien beau de promettre,
Mais tant de kilomètres
Ça donne le tournis !
- Si le sort vous accable,
Leur répondis-je alors,
Rapprochez-vous, que diable,
Rapprochez-vous encor !
Ma remarque opportune
Leur fut d'un grand secours :
Il n'en reste plus qu'une,
Quel beau roman d'amour!

Jean-Luc Moreau

_________________________________________________________

Cylindre

Si l'on quittait la sphère

Pour s'en aller ailleurs,
C'est à travers toi
Que l'on passerait.
 
J'imagine à peu près
Ce que ça pourrait être : 
J'ai connu ta longueur
Dans tant de mauvais rêves. 

Guillevic - Euclidiennes  1967

 

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