Sens des opérations et calcul (cycle 2)

 

L’addition

A. Le calcul réfléchi et la mémorisation de la table d’addition

B. La technique opératoire de l’addition

La soustraction

A.      Accéder aux différents sens de la soustraction

B.       Opérer le lien entre les différents sens.

C.       Calculer avec la soustraction

La multiplication

A.      La complexité pédagogique de l’introduction de la multiplication

B.       Partir de l’expérience des élèves : l’addition itérée

C.       Introduire le signe x en faisant le choix de la commutativité

D.      Prendre en compte les problèmes langagiers et les difficultés de la notation multiplicative

E.       Les tables de multiplication

F.       Vers une technique opératoire de la multiplication

 

 L’addition

 

A. Le calcul réfléchi et la mémorisation de la table d'addition

L’un des enjeux du cycle 2 est de faire acquérir aux élèves une bonne connaissance du répertoire additif et une capacité effective de réaliser mentalement ou par écrit, sans utiliser systématiquement une technique opératoire, des calculs simples.

Aux cycles 2 et 3, de nombreux élèves ont des difficultés parce qu’ils ne peuvent pas restituer rapidement et avec sûreté des résultats élémentaires de la table d’addition. On dit couramment qu’ils « ne savent pas leur table ». Il convient tout d’abord de s’interroger sur le sens de « savoir sa table ». Ce n’est pas nécessairement la savoir « par cœur », cela peut être aussi la possibilité de retrouver très rapidement, par exercice mental, le résultat attendu. En d’autres termes, et des travaux récents l’ont montré[1], un élève de cet âge a deux attitudes  par rapport au répertoire additif :

- soit il sait le résultat. C’est le cas pour certains résultats qu’il considère « simples », particulièrement les doubles.

- soit il reconstruit le résultat, c’est-à-dire qu’il utilise ses connaissances arithmétiques pour le retrouver. Pour exemple, citons le cas d’un élève qui calcule de cette manière 3 + 6 :

il décide de remplacer, tout d’abord, 3 + 6 par 6 + 3 (utilisation implicite de la commutativité de l’addition)

puis il calcule 6 + 3 par surcomptage, c’est-à-dire en énonçant : « sept, huit, neuf ».

La stratégie proposée pour l’acquisition du répertoire additif est donc la suivante :

- Favoriser chez les élèves la mémorisation des résultats les plus accessibles. Ils doivent connaître dès que possible les doubles des nombres de 1 à 9, ainsi que les « amis de 10 » (sommes de deux nombres égales à 10).  Il est illusoire de penser aller au-delà pour certains élèves. Souvent, une mémorisation forcée est instable et ne donne rien d’efficace. L’élève mémorisera d’autant mieux qu’il se sent sûr de lui-même et qu’il est capable de retrouver le résultat. D’où le deuxième aspect de la stratégie.

- Développer chez les élèves des procédures de « reconstruction » rapide des résultats leur permettant de résoudre dans la plupart des cas les calculs additifs qu’ils rencontrent. C’est là où le calcul réfléchi, c’est-à-dire le calcul qui s’adapte aux nombres et utilise leurs propriétés arithmétiques, trouve toute sa place. Citons deux exemples :

un  « presque double ». Par exemple,  6 + 7

   a. on voit le double 6 + 6  6 + 6 = 12

   b. on calcule ensuite 12 + 1 = 13

         Remarque. Une procédure de calcul réfléchi est rarement unique. L ‘élève pourrait aussi faire : 7 + 7 = 14  14 – 1 = 13

          le passage de la dizaine. Par exemple 7 + 4

a. il manque 3 pour faire 10 : 7 + 3 = 10

b. il reste 1 pour faire 4 : 10 + 1 = 11 

Ces procédures de calcul réfléchi ne sont pas spontanées chez les élèves. Souvent, elles doivent être construites  avec eux et approfondies. En particulier, il serait fâcheux que les élèves n’aient à leur disposition que la méthode du surcomptage pour obtenir les résultats.

En conclusion, voici les méthodes de calcul réfléchi qu’on peut raisonnablement développer chez les élèves pour les aider à mieux maîtriser le répertoire additif :

-le surcomptage pour calculer n+1, n+2 et n+3

-les presque doubles

-le passage par la dizaine dans les autres cas.

Remarque. Il va de soi qu’il ne faudrait pas empêcher un élève de procéder autrement s’il s’est construit personnellement une méthode efficace.

On comprend que le calcul réfléchi soit l’objet de nos préoccupations pédagogiques quotidiennes.  Ce calcul n’est possible que si l’élève a une bonne représentation des nombres, de bonnes images mentales. A ce titre, les cartes à points sont une aide précieuse. Prenons l’exemple de  7 + 4 :

 

B. LA TECHNIQUE OPERATOIRE DE L'ADDITION

  La maîtrise de la technique opératoire de l’addition est une compétence nécessaire à la fin du cycle 2. Deux idées essentielles doivent guider  sa présentation :

1.    La technique utilisée par l’élève doit avoir un sens pour lui. C’est pourquoi elle doit être l’aboutissement formalisé de manipulations qui permettent de lui donner une véritable signification. Le recours aux cartes à points permet cette prise de conscience.

2.    Une technique opératoire ne doit pas être le seul moyen pour l’élève d’effectuer des calculs simples. Il serait regrettable qu’il se réfugie derrière la technique quoiqu’il arrive, sans avoir d’autres possibilités de calcul. Par exemple, il ne devrait pas poser d’addition pour calculer 39 + 10. C’est la raison pour laquelle il faut présenter, en parallèle, le calcul en ligne faisant appel à la décomposition des nombres.

 

 

La soustraction

  

A.  Acceder aux différents sens de la soustraction

 

            Paradoxalement, la difficulté principale de la véritable compréhension du sens de la soustraction provient du fait que son sens premier est naturel, accessible très tôt et très prégnant : quand on enlève, on soustrait. La prégnance de ce premier sens rend plus difficile l’acceptation que la soustraction recouvre d’autres sens qui vont être indispensables pour maîtriser cette opération à la fin du cycle 2 et au cycle 3. Reprenons ces différents sens.

 1. Le sens « enlever ».

           Comme nous l’avons vu, ce sens est rapidement compris des élèves, et permet d’introduire facilement de signe -. On le trouve, par exemple, dans un problème du type :

Céline a 28 images. Elle donne 3 images à sa soeur. Combien lui en reste-t-il ?

           En effet, pour obtenir le résultat, l’élève peut dessiner des images et en barrer 3 ou bien, s’il effectue un réel calcul, décompter (27, 26, 25). Il y est d’autant plus invité qu’on trouve dans l’énoncé la présence du mot inducteur « donne ».

            Du point de vue du calcul, ce sens est particulièrement adapté lorsqu’on enlève peu (par exemple 28 – 3 ; on enlève 3 en décomptant unité par unité) ou bien lorsqu’on enlève des multiples de 10, de 100 ; etc., c’est-à-dire lorsqu’on enlève un nombre entier de dizaines, de centaines, etc. Mais il faut avoir conscience qu’il ne recouvre pas toutes les situations soustractives et c’est ce que les élèves ont du mal à admettre.

 2. Le sens « pour aller à ».

            Observons ce qu’un élève a fait pour résoudre le problème suivant :

Stéphanie avait 42 images. Sa maman lui donne des images. Stéphanie a maintenant 60 images. Combien d’images lui a donné sa maman ?

           La perception de l’élève est manifestement de compléter 42 pour obtenir 60, c’est-à-dire d’aller de 42 à 60.

           Le sens « pour aller à » est bien adapté à la compréhension des problèmes arithmétiques nécessitant de chercher ce qu’on a ajouté ou de chercher une partie connaissant le tout et l’autre partie.

           Du point de vue du calcul, ce sens facilite la recherche du résultat d’une soustraction dans le cas où on enlève beaucoup (par exemple, pour calculer 41 – 38, il est plus simple de procéder par surcomptage : 39, 40, 41 ; 41 – 38 = 3)

            La représentation de la droite numérique est une visualisation intéressante de ce sens :

 

            Il en résulte la possibilité de réaliser des calculs en faisant des « bonds » sur la droite numérique :

de 12 à 20               8                                                           

de 20 à 25             5                       8 + 5 = 13     

de 12 à 25            13

             En particulier, le passage par la dizaine supérieure est ainsi mieux explicité.

             Une manière de traduire le complément est « l’addition à trou ». L’utilisation d’une telle écriture est délicate pour certains enfants, dans la mesure où elle rompt avec la représentation traditionnelle d’une opération (on opère sur deux nombres et on obtient un résultat) et avec la disposition opératoire : le résultat se trouve à droite (pour l’opération en ligne) ou en dessous (pour l’opération posée). Aussi,  on peut faire précéder l’addition à trou d’une autre disposition plus conforme à la représentation habituelle. C’est celle qui a déjà été décrite plus haut :

de 12 à 20           8

 

3. Le sens écart.

           L’écart entre deux nombres A et B (on suppose A inférieur à B) est le nombre qu’il faut ajouter à A  pour obtenir B ainsi que le nombre qu’il faut enlever à B pour obtenir A.

           Ce sens est présent dans les problèmes de comparaison :

Antoine a 13 images et Lucas a 28 images. Qui a le plus d’images ? Combien en a- t-il en plus ?

           Il faut bien prendre conscience que rien, dans cet énoncé n’invite à la soustraction 28 – 13 et que fournir une telle écriture manifeste déjà une réelle expertise. Pour y accéder, il faut d’abord transformer le problème en une situation d’égalisation : combien faut-il donner d’images à Antoine pour qu’il en ait autant que Lucas ?, ce qui conduit à un glissement vers le sens « pour aller à ».

           Du point de vue du calcul, on observe que les deux sens « pour aller à » et écart sont assez proches, dans la mesure où le calcul de l’écart entre A et B (A<B) conduit généralement à aller de A à B. Cependant, le déplacement sur la droite numérique dans le sens « négatif » (de B vers A) est envisageable.

           Une propriété importante, mais d’une compréhension délicate, est que l’écart entre deux nombres ne varie pas si on ajoute ou on enlève la même quantité à ces deux nombres. Ainsi, l’écart entre 52 et 87 est égal à l’écart entre 50 et 85, ce qui est plus simple à calculer.

           En conclusion, il ne faudrait pas réduire le sens écart au sens « pour aller à ».  La caractéristique particulière de ce sens écart, par rapport aux précédents, est sa commutativité : l’écart entre A et B est aussi l’écart entre B et A.                                                  

  B. OPERER LE LIEN ENTRE LES DEUX SENS

 

          Une bonne maîtrise du sens de la soustraction et la capacité à effectuer des calculs dans des situations diverses nécessitent non seulement la confrontation avec les différents sens présentés en A mais aussi la possibilité de les relier entre eux et de passer facilement de l’un à l’autre.

          Nous avons vu que le sens écart a des rapports étroits avec le sens « pour aller à » de telle sorte que la liaison s’opère aisément.  Par contre, rien ne permet de voir spontanément le lien qui existe entre « A moins B » (envisagé comme étant la quantité A à laquelle on a enlevé la quantité B) et «  de  A pour aller à B » (complément de A à B). Ce fait est un objet de savoir qui doit avoir été découvert et expérimenté par les élèves puis utilisé dans les différents contextes de calcul.

 

C. Calculer avec la soustraction

 

             La possibilité d’effectuer correctement des calculs soustractifs, en calcul mental et réfléchi, passe par le recours à ces différents sens selon la situation présentée et la qualité des nombres en présence.  C’est cette capacité d’utiliser différents points d’entrée qui sera la preuve de la performance des élèves.

 1. Le problème de l’écriture soustractive.

           Pour un adulte averti, l’écriture A-B va de soi : elle indique un nombre qui est le résultat de la soustraction de B à A. Il en résulte immédiatement que B – A n’est pas égal à A – B, autrement dit que la soustraction n’est pas commutative. Cette évidence est mise à mal lorsqu’un élève écrit, pour résoudre le problème suivant :

Stéphanie avait 122 images. Sa maman lui donne des images. Maintenant, Stéphanie a 167 images.

           C’est oublier trop vite que l’addition, opération concurrente de la soustraction, est commutative et généralement plus familière aux élèves. Il ne faut pas oublier non plus que l’un des sens de la soustraction, le sens écart, relève de la commutativité : l’écart entre A et B est égal à l’écart entre B et A.

            Encore une fois, c’est à travers une confrontation de situations diverses que l’élève comprendra mieux le caractère non commutatif de l’écriture A – B.

2. Le calcul réfléchi.

           Selon la nature des nombres en présence, le calcul soustractif à effectuer sera facilité selon qu’on fait appel à un sens ou à l’autre. Prenons deux exemples particulièrement importants dans le domaine du calcul mental :

·         37 – 4.  Il s’agit d’enlever 4 à 37. Le fait qu’on « enlève peu » conduit à obtenir le résultat par décomptage ( 36, 35, 34, 33)

·         37 – 33. Dans ce cas, il s’agit d’enlever 33 à 37 (on enlève « beaucoup »). Le résultat sera plus facilement obtenu si on perçoit cette soustraction comme l’action d’aller de 33 à 37, ce qui conduit à un surcomptage (34, 35, 36, 37 ; résultat : 4)

           D’une manière générale, dans les différents calculs écrits et mentaux, l’élève doit être conduit à passer facilement de  l’addition à trou à l’écriture soustractive habituelle et réciproquement.

 3. Une approche de la technique opératoire de la soustraction.

           Tout ce travail doit être fait en cohérence afin d’éviter de mettre l’élève face à des difficultés superflues. Cela conduit à se poser la question de la manière d’introduire une technique opératoire de la soustraction au CE2 (rappelons qu’au CE1, seule une approche est faite). Il s’agit à la fois d’éviter des efforts inutiles et de construire un outil qui a du sens. C’est la raison pour laquelle notre choix se porte sur la technique dite « par addition », découlant de l’addition à trou :

          En conséquence, on développera au CE1 une approche de la technique de la soustraction reposant sur l’addition à trou :  

4. Une démarche dans la résolution des problèmes de soustraction.

           Voyons, pour finir comment doit être conçue la résolution d’un problème arithmétique soustractif. Prenons l’exemple suivant :

Julien a fait un bouquet de 94 fleurs. Parmi ces fleurs, il y a 32 fleurs rouges et les autres sont jaunes.  Combien y a-t-il de fleurs jaunes ?

           Plusieurs étapes doivent être dégagées :

1. Une lecture mathématique de l’énoncé, afin de comprendre les relations numériques présentes : il faut ajouter les fleurs jaunes aux fleurs rouges pour obtenir les fleurs du bouquet.

2. Une traduction numérique des relations mises en évidence :

32 + £ = 94

            La traduction  orale de cette écriture peut être : aller de 32 à 94. La traduction numérique qui en résulte est 94 - 32

3. Une mise en œuvre du calcul.

           Pour un élève de CE1, cela pourra passer par une activité de calcul réfléchi (comment aller de 32 à 94 ?) ou par l’effectuation d’une addition à trou, comme cela a été montré précédemment.

4. Un retour à la situation initiale.

          Il ne faut pas oublier la nécessité de donner une réponse appropriée à la question posée, ce qui implique de reprendre les termes de cette question et de choisir correctement l’unité de la réponse :

Il y a 62 fleurs jaunes.

 

La multiplication

 

Que penser de cette présentation de la multiplication aux élèves (exemple réel d'affichage en classe)?

 

A.  Prendre conscience de la complexité pédagogique de l’introduction de la multiplication.

 

           Sous des apparences simples, l’introduction de la multiplication au CE1 se révèle d’une difficulté importante qui conduit fréquemment à des approximations pédagogiques ou à des lacunes d’apprentissage. Des habitudes anciennes, rarement remises en question, aboutissent à soumettre l’élève à des contraintes souvent injustifiées.  Il convient d’en prendre conscience, afin d’adopter un dispositif cohérent et progressif.

 1.  Qu’est-ce que la multiplication ?

           La réponse à cette question est immédiate : la multiplication est une opération qui, à partir de deux nombres, fournit un autre nombre appelé produit. En revanche, il faut se poser la question de la manière dont on conçoit ce produit. Prenons l’exemple du produit de 3 et de 4 :

- il peut s’agir du résultat de l’action du nombre 3 sur le nombre 4, afin d’obtenir l’addition de 3 fois le nombre 4 : 4 + 4 + 4 (on peut préférer l’action du nombre 4 sur le nombre 3, par la répétition de 4 fois le nombre 3). Dans ce cas, on met en œuvre ce qu’on appelle une multiplication reposant sur une loi externe : l’opérateur x3 agit sur le nombre 4 pour obtenir le nombre 12.

           Dans ce contexte, on perçoit que les nombres 3 et 4 ne jouent pas le même rôle : si l’action du nombre 3 sur le nombre 4 produit le même résultat que l’action du nombre 4 sur le nombre 3, il n’empêche que ces deux actions sont différentes.

- il peut s’agir de l’action conjuguée des deux nombres 3 et 4, considérés d’une manière équivalente, afin d’obtenir le produit. Dans ce cas, on considère une multiplication reposant sur une loi interne, qui est privilégiée dans les diverses étapes de la scolarité. D’emblée, cette multiplication est pourvue de diverses propriétés dont la plus importante est la commutativité : l’ordre des nombres n’importe pas pour le produit. C’est dans ce contexte que l’élève percevra que pour calculer 20x3, on a le choix entre le calcul de 20 fois 3 et celui de 3 fois 20 et que ce deuxième choix est le plus simple pour effectuer le calcul.

            Comme on le voit facilement, ces deux conceptions de la multiplication sont complémentaires pour appréhender cette opération.

 

2. Les problèmes de notation et les problèmes langagiers.

           Il nous faut aborder ici un problème qui paraît anecdotique et qui est pourtant au cœur de la complexité pédagogique de l’introduction de la multiplication.  Pour illustrer cela, prenons un exemple tiré de l’évaluation nationale du début de CE2 de l’année 2000. Dans un exercice de calcul mental, l’enseignant devait demander aux élèves d’effectuer mentalement une série de calculs additifs, soustractifs et multiplicatifs à partir d’indications écrites fournies sur un livret de l’enseignant. Entre autres calculs, l’élève devait calculer mentalement le produit 13x2 et la consigne demandée à l’enseignant était de « dicter 13x2 » (sans aucune autre indication sur les mots à prononcer).

           Comment peut-on dicter 13x2 ? Une enquête auprès d’enseignants montre que ceux-ci ont dicté de  trois manières différentes : « treize fois deux » ; « deux fois treize » et « treize multiplié par deux ». Chacun comprendra que, selon le choix effectué (particulièrement « deux fois treize »), les réussites des élèves ne sont pas identiques…

           En fait, ces trois traductions sont valides et ne peuvent pas être mises en question : seulement, chaque traduction est porteuse d’un sens qui facilite ou non l’obtention du résultat par l’élève. Analysons chacune d’elles :

- « treize fois deux » traduit l’action du nombre 13 sur le nombre 2 : il s’agit de la multiplication externe dont l’opérateur est x13. Pour préciser, on dit que le multiplicande est 2 (nombre sur lequel on agit) et que le multiplicateur est 13 (nombre qui agit, le nombre de fois) ;

- « deux fois treize » traduit l’action du nombre 2 sur le nombre 13 : il s’agit de la multiplication externe dont l’opérateur est x2.  Le multiplicande est 13 et le multiplicateur est 2. Dans ce cas, il s’agit de prendre le double de 13, ce qui conduit facilement au résultat.

- « treize multiplié par deux» traduit la multiplication interne de 13 et de 2. Dans son acception actuelle, c’est une expression « neutre » qui n’induit aucun  multiplicateur. C’est au calculateur de faire ensuite la traduction la plus appropriée (en « deux fois treize »).

Remarque.

           En fait, si on examine de plus près cette expression, on se rend compte que, dans son acception première généralement abandonnée, elle est loin d’être neutre : 13 est multiplié par 2, donc le multiplicateur est 2. Ainsi, anciennement, « treize multiplié par deux » équivalait à  «deux fois treize », ce qui explique sans doute la lecture de 13x2 citée précédemment.

            Dans le même ordre d’idée, il faut se poser la question de l’écriture d’un produit résultant de la traduction mathématique d’un problème. Par exemple :

« Un jardinier a cueilli 4 bouquets de 12 roses. Combien a-t-il cueilli de roses ? »

           La traduction immédiate de cette situation conduit à faire une traduction en 4 fois 12 roses. Comment écrire  4 fois 12 avec le signe x ?

            Une tradition tenace ( cohérente sur le plan mathématique, mais discutable sur le plan pédagogique ) invite à écrire « 4 fois 12 » sous la forme 12x4. On peut s’étonner de l’insistance à vouloir imposer aux élèves une telle disposition d’écriture (écriture de droite à gauche par rapport à une lecture qui se fait de gauche à droite ; de quoi dérouter les élèves, sans aucun profit pédagogique !). A l’école primaire, l’origine provient probablement de l’habitude, jusque dans les années 1970, de noter les unités dans les calculs. Ainsi, dans le problème : « Maman a acheté 4 litres de jus d’orange à 12F le litre. Combien a-t-elle payé ? »,  certains manuels expliquaient l’écriture ainsi :

12 francs par litre x 4 litres = 48 francs

(on écrit d’abord le prix d’un litre puis on multiplie par le nombre de litres).

           Voici un exemple extrait d’un manuel[2]

           Une autre manière –qui doit être privilégiée- est de percevoir que la multiplication intervient ici pour résoudre ce problème, par le fait que l’on a 4 fois 12 salades. En conséquence, la traduction mathématique sera indifféremment 4x12 ou 12x4.

En conclusion, on voit que plusieurs conceptions de la multiplication interagissent dans les apprentissages, avec, en plus, des expressions langagières qui se réfèrent à cette opération, qui ne sont pas équivalentes et qui interfèrent avec  la notation multiplicative (signe x). Tous ces constats nous conduisent à proposer une programmation cohérente de l’introduction de la multiplication.

 

B. Partir de l’expérience des élèves : l’addition itérée.

  

          La construction du sens de la multiplication et du produit de deux nombres doit s ‘appuyer sur la représentation première de l’opération, c’est-à-dire sur l’idée que, quand on multiplie, on répète plusieurs fois le même nombre et qu’on obtient ainsi un  nombre plus grand.

           Dans ce cadre, puisqu’il s’agit d’une multiplication externe (voir A), nous utiliserons à dessin le mot « fois », sans recourir immédiatement au codage avec le signe x, afin de ne pas introduire inutilement des confusions de sens et des contraintes de codage qui ont été évoquées précédemment.

            Ainsi, 4 fois 3 est l’écriture qui exprime l’action d’additionner 4 fois le nombre 3 (on agit sur le nombre 3 en le répétant 4 fois) : 4 fois 3 = 3 + 3 + 3 + 3. De la même manière, 3 fois 4 exprime l’action  d’additionner 3 fois le nombre 4 (on agit sur le nombre 4 en le répétant 3 fois) : 3 fois 4 = 4 + 4 + 4. Comme cela a déjà été dit, ces deux actions sont distinctes mais produisent, bien sûr, le même résultat. Il convient de distinguer ici l’action du résultat obtenu.

           Il faut proposer aux élèves de produire différentes écritures additives répétées en relation avec le mot fois, afin d’installer ce sens premier de la multiplication.

 

C. Introduire le signe x en faisant le choix de la commutativité.

 

           La seconde étape de la démarche consiste à introduire le signe x en faisant apparaître que « a fois b » et « b fois a » sont deux facettes d’un même nombre qu’on notera indifféremment axb ou bxa et qu’on appellera « a multiplié par b » ou « b multiplié par a ».  Comme ce simple discours ne suffit pas à la compréhension d’un débutant, nous nous appuyons sur la disposition des objets en lignes et colonnes (ou en utilisant les cases d’un quadrillage rectangulaire). Prenons l’exemple suivant :

Les salades du jardin

« 4 fois 5 » donne le même résultat que « 5 fois 4 » (20 salades). Cela correspond à un nombre qu’on appelle le produit de 4 et de 5 , qu’on note 4 x 5 ou 5 x 4  et qu’on énonce « 4 multiplié par 5 » ou « 5 multiplié par 4 ».

Remarque.

          Il convient de bien comprendre, même si cela se révèle d’une mise en œuvre pédagogique délicate (nous verrons dans le paragraphe suivant les choix à faire et les précautions à prendre) qu’il n’y a pas de correspondance terme à terme entre « 4 fois 5 » et 4 x5 d’une part, entre « 5 fois 4 » et 5x4 d’autre part. Au contraire, 4x5 est un nombre qui s’exprime sous ses deux facettes «4 fois 5 » et « 5 fois 4 ». Il en est de même pour 5x4.

          La conséquence de cela est que la multiplication introduite dans ce paragraphe (qui est bien une multiplication interne) a , de fait,  la propriété d’être commutative puisque, d’emblée, l’ordre d’écriture des deux nombres du produit n’a pas d’importance. Le constat de la propriété de commutativité ne se fait pas par l’observation de résultats égaux dans des calculs (axb, considéré comme a fois b, est égal à bxa, considéré comme b fois a), mais en raison de la définition initiale de la multiplication, visualisée par la disposition en lignes et colonnes.

           L’avantage immédiat résultant est la possibilité de traduire un produit, en vue de le calculer, sous la forme la plus appropriée, sans être bloqué par un ordre imposé. Par exemple, pour calculer 13x2, on a le choix entre les deux possibilités « 13 fois 2 » et « 2 fois 13 » et on choisit la seconde qui permet d’obtenir facilement le résultat.

           En définitive, le choix fait, riche de possibilités pédagogiques, est de ne pas lier directement l’ordre de ce qui est dit avec l’ordre de ce qui est écrit et de permettre la lecture ou l’écriture dans les deux sens. En d’autres termes, nous nous appuyons dès le départ sur la propriété de commutativité de la multiplication interne et nous en développons les principales possibilités. Cela contourne les contraintes de notations évoquées dans le premier paragraphe et évite de mettre les élèves en face de contradictions pédagogiques qu’ils perçoivent confusément. En effet, si l’on est intransigeant sur l’ordre d’écriture du produit, comment faire comprendre aux élèves, à qui l’on a dit que le prix de 120 barres de chocolat à 3 euros la barre doit s’écrire impérativement 3 x 120 (120 fois 3 ; le multiplicateur est 120), que lorsqu’ils posent la multiplication (au CE2) pour calculer le résultat,  ils doivent écrire de préférence 

                  120

                x    3

             ______ 

 

 (ce qui correspond à 3 fois 120 ; le multiplicateur est 3) ?

 

D. Prendre en compte les problèmes langagiers et les difficultés de la notation multiplicative.

 

          L’adhésion aux choix proposés dans les deux précédents paragraphes ne permet pas de dire que les problèmes langagiers et de notation sont définitivement réglés. En fait, le concept même de commutativité qui signifie que, en acte, le produit de deux nombres est indifférent à l’ordre des nombres, ne s’accorde pas avec les contraintes de l’énonciation (ce qui est dit est énoncé dans un certain ordre et marqué temporellement : il y a un début et une fin) ni avec celles de l’écriture ou de la lecture (ce qui est écrit ou lu l’est de gauche à droite). En définitive, dans la réalité scolaire quotidienne, il est normal que « a fois b »  soit traduit majoritairement sous la forme a x b (« a multiplié par b »). En effet, l’enfant –et aussi l’adulte- recherche l’économie cognitive et l’efficacité. Ce qui est important, nous le rappelons, c’est qu’il puisse percevoir le produit axb sous ses deux facettes « a fois b » et « b fois a ».

           Un autre aspect est la question de la désignation du produit axb. En privilégiant la « neutralité » de la multiplication interne, il est souhaitable de dire « a multiplié par b ».  Cela étant, chacun constate que la formulation orale de cette expression est complexe et ne facilite pas, comme l’ont montré divers travaux, la mémorisation de la table de multiplication. Cette mémorisation est simplifiée si l’on utilise le mot « fois », la mémoire de travail étant allégée. Cette formulation, certes  abusive, est tolérable si, dans le même temps, l’élève a bien  perçu le sens des diverses traductions possibles du produit axb et a bien intégré la propriété de commutativité de la multiplication. 

  

E. Les tables de multiplication.

 

Les programmes du cycle 2 indiquent, à propos des tables de multiplication : « construction, utilisation, début de mémorisation ». Les limites à la mémorisation sont bien spécifiées (tables de 2 et de 5). Par contre, l’interprétation des termes « construction » et « utilisation » mérite d’être développée.

En premier lieu, la construction et l’utilisation des tables de multiplication n’ont de sens que si on rend l’élève autonome, c’est-à-dire s’il est capable, mentalement ou par écrit, de retrouver rapidement les résultats multiplicatifs et de pouvoir, progressivement, les mémoriser. En d’autres termes, il s’agit de favoriser chez chaque enfant la construction d’un réseau multiplicatif à partir d’une présentation signifiante des tables.

 1. Un réseau multiplicatif associatif.

Les travaux de ces dernières décennies, en psychologie cognitive, montrent que les performances des adultes relatives aux multiplications simples (la même observation est faite pour les additions) s’expliquent par référence à un réseau associatif. Cela signifie que chaque couple de nombres dont on veut calculer le produit est mis en relation, en mémoire à long terme, avec un autre nombre (le produit).

Même lorsqu’elle est mise en défaut, cette mise en relation n’est pas fortuite. Ainsi, l’erreur, « 5 fois 3 égale 20 » est beaucoup plus fréquente que l’erreur « 5 fois 3 égale 19 ». D’autre part, on constate que, plus le temps de réponse est long, plus le risque d’erreur est grand.[3] Enfin, la durée de réponse et le nombre d’erreurs augmentent si les nombres concernés entretiennent des relations avec d’autres produits concurrents. Par exemple,  l’obtention de « 4 fois 8 » se révèle souvent délicate dans la mesure où  4 et 8 ont aussi des relations avec 24 ( 4 fois 6 égale 24 ; 8 fois 3 égale 24).

Les savoirs des adultes relatifs aux tables de multiplication sont déclaratifs, c’est-à-dire qu’ils sont essentiellement basés sur le « par cœur ». Nous savons bien que cela n’est pas le cas pour les jeunes enfants et que l’attachement obstiné au « par cœur » ne porte pas les fruits attendus.

Il nous faut donc aider les jeunes élèves à construire ce réseau associatif multiplicatif. Cela se fait de deux manières :

-          en favorisant, chaque fois que cela est possible, la perception des relations entre les nombres pour obtenir les résultats multiplicatifs ;

-          en construisant, puis en utilisant des tables de multiplication qui s’appuient sur le sens acquis par les élèves du produit de deux nombres.

 

2. Comment construire et réciter les tables de multiplication ?

Constatons d’abord que les formulations relatives à ce domaine sont imprécises. Ainsi, on parle de « la » table de multiplication ou « des » tables de multiplication. Qu’est-ce à dire ?

-          la table de multiplication, c’est la table de Pythagore, bien connue des pédagogues. Sur cette table, le produit de deux nombres s’obtient par la lecture du nombre situé à l’intersection d’une ligne et d’une colonne correspondant à chaque terme du produit. Une telle table de multiplication a l’avantage de rassembler en un seul tableau de nombres tous les résultats du répertoire multiplicatif. Elle met en évidence des propriétés de la multiplication (principalement la commutativité).

-         les tables de multiplication. On peut dire que la table de Pythagore est constituée de différentes tables de multiplication, chacune d’elles étant constituée d’une ligne (ou d’une colonne). Plus précisément, en utilisant le mot « fois », nous faisons la présentation suivante, pour la table de 3 :

 

1 fois 3

2 fois 3

3 fois 3

4 fois 3

5 fois 3

6 fois 3

7 fois 3

8 fois 3

9 fois 3

10 fois 3

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

 

           Justifions ce choix. Dans la tradition pédagogique depuis un siècle au moins, on peut voir dans les manuels scolaires deux modes de présentation concurrents des tables de multiplication et de récitation de ces tables:

- la présentation et la récitation qui gardent constant le multiplicateur (c’est-à-dire le « nombre de fois ») :

3 fois 1 : 3

3 fois 2 : 6

3 fois 3 : 9

etc.

- la présentation et la récitation qui gardent constant le multiplicande (le nombre à répéter). Par exemple, voici une présentation de la table de 3 dans un manuel scolaire du début du XXème siècle[1] :

           C’est le choix que nous retenons pour une raison évidente : il s’appuie le mieux sur le sens de la multiplication tel que l’enfant le perçoit. Il peut ainsi établir plus facilement des associations entre les nombres. Par exemple, s’il sait « 4 fois 3 » (12), il peut déduire facilement « 5 fois 3 » (15) car c’est 12 + 3.

 Remarque. Il faut bien comprendre que ce raisonnement réfléchi est impossible avec la première manière de présentation et de récitation des tables. Il ne peut s’agir alors que d’un apprentissage par cœur.

 

F.   Vers une technique opératoire de la multiplication

 

           La construction de la technique opératoire de la multiplication n’est pas un objectif de la fin du cycle 2. En revanche, ce sera une préoccupation des enseignants du CE2.  Par contre, il faut permettre aux élèves d’effectuer certains calculs multiplicatifs faisant appel à des nombres de deux chiffres. On peut donc retenirles options suivantes :

1.        nous ne considérons que des calculs de produits d’un nombre de deux chiffres par un nombre d’un chiffre, après avoir introduit la règle des zéros.

2.       notre volonté est d’éviter d’entrer dans la pratique de recettes sans signification. Par conséquent, pour calculer une multiplication, nous demandons systématiquement une décomposition en dizaines et unités, suivie de calculs complémentaires. La technique opératoire proprement dite, avec le principe des retenues, est réservée au CE2.

Par exemple, pour le calcul de 26x4 :

-          décomposition : 26 x 4, c’est 4 fois 2 dizaines plus 4 fois 6 unités ;

-          recours aux tables : 4x2 = 8 ; 4x6 = 24 ;

-          mise en relation des résultats :

 



[1] Le lecteur intéressé par ces questions peut lire avec profit le livre de M. Fayol : L’enfant et le nombre, Delachaux et Niestlé 1990. Le sujet évoqué ici se trouve aux pages 110 et suivantes

[2] Le calcul quotidien Collection Bodard, éditions Fernand Nathan 1966

[3] Michel FAYOL, L’enfant et le nombre, 1990, pages 118 et 191

[4] Cours pratique d’arithmétique CM Minet et Patin  Fernand Nathan 1919

 

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