Les nombres et la numération (cycle2)

 

A.      Les acquis au début du CE1

B.       Les enjeux de la numération au CE1

C.       Les nombres jusqu’à 100

D.      Les nombres supérieurs à 100

 

Les activités consacrées à la numération, au début de l’année de CE1, se doivent de prendre en compte les acquis des élèves et d’approfondir ceux-ci, afin de poursuivre, dans les unités suivantes, l’étude des nombres.

A. Les acquis au début du CE1

Au sujet de la compréhension de la numération, nous considérons qu’un élève entrant au CE1, qui a suivi un CP sans réelle difficulté, possède les acquis minimaux qui vont être décrits dans les lignes suivantes. Par la suite, nous nous appuierons sur ces acquis, sans toutefois refuser d’y revenir pour les élèves en difficulté :

     1.   La connaissance des écritures chiffrées des nombres jusqu’à 99 : possibilité d’écrire une suite de nombres à partir d’un nombre donné, de fournir le suivant et le précédent d’un nombre. Nous rappelons que ces compétences ne nécessitent pas que l’élève sache lire les nombres qu’il écrit.

     2.  La compréhension du rôle de 10 et des multiples de 10 pour la décomposition des nombres de 0 à 69.

Par exemple :          37 = 10 + 10 + 10 + 7 ;

                                   42 = 40 + 2

3.  Pour les nombres de 0 à 69, la comparaison de deux nombres et le rangement de plusieurs nombres .

4.  La désignation orale des nombres de 0 à 69, ainsi que la lecture de ces nombres écrits en lettres.

 

B. Les enjeux de la numération au CE1.

 L’année de CE1 est capitale pour faire acquérir aux élèves les éléments essentiels qui fondent la numération des nombres entiers. Rappelons brièvement ces éléments :

1.      Pour dénombrer une collection d’objets, lorsque celle-ci est grande, il est difficile, sinon impossible de compter unité par unité. Il est donc nécessaire de grouper ces unités. L’usage courant est de faire des groupements (des « paquets ») de 10 unités qui constituent des dizaines. De même, on fait des groupements de 10 dizaines, qui constituent des centaines etc.  L’avantage immédiat est qu’on peut ainsi compter directement les dizaines ou les centaines.

2.    Pour désigner les quantités obtenues, après avoir constitué des dizaines et des centaines (si c’est nécessaire), deux moyens sont possibles :

        - par l’oral. Par exemple, la collection constituée de trois dizaines et de deux unités se dit « trente-deux ». On remarque que « trente », c’est « trois dix »  et qu’en définitive « trente-deux » n’est qu’une désignation orale abrégée de « trois dizaines et deux unités ». Il est à noter aussi que, de même que la désignation «  deux unités et trois dizaines » est perçue immédiatement comme équivalente à « trois dizaines et deux unités », l’expression « deux et trente », même si elle n’est pas utilisée, a un sens et est équivalente à « trente-deux ». En d’autres termes, la numération orale n’est pas positionnelle dans la mesure où les dizaines et les centaines sont indiquées (et pas seulement leur nombre) ce qui fait qu’elles peuvent être données (même si ce n’est jamais fait) dans le désordre : « deux et trois cent et quarante » est bien perçu comme égal au nombre « trois cent quarante ».

              - par l’écrit. Différents moyens ont été employés au cours de l’histoire des civilisations qui nous ont précédé et nous n’y reviendrons pas ici. Notre numération écrite est positionnelle, c’est-à-dire que seule l’indication des nombres d’unités, dizaines, centaines, etc. est fournie, ce qui fait que cette indication doit être donnée dans un ordre précis et immuable : à partir de la droite, unités, puis dizaines, puis centaines, etc. De ce fait, le nombre 342 est perçu comme égal à 3 centaines, 4 dizaines et 2 unités.

 3. Les nombres doivent être écrits et dits  et il faut être capable de passer indifféremment d’un système de numération à l’autre (de l’oral vers l’écrit et réciproquement). Or, nous venons de voir que le principe de désignation orale des nombres a des particularités qui ne sont pas celles de la désignation chiffrée des nombres.  Le passage de l’un à l’autre ne se fait pas de manière aussi automatique qu’on peut le croire de prime abord.  Cela est d’autant plus vrai pour les nombres de 70 à 99 qui, dans notre tradition française, utilisent les groupements de « vingt » et non ceux de « dix ».

4. L’organisation de la suite écrite des nombres suit un rythme propre qui découle de sa constitution. Ainsi, si l’on prend la suite des nombres à partir de 30 :

30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44,…

on observe que le chiffre de droite (chiffre des unités) varie de 0 à 9 ; après 9, ce chiffre repasse à 0 alors que le second chiffre (chiffre des dizaines) augmente d’une unité.

 

Pour la bonne conduite des apprentissages, nous proposons plusieurs supports qui permettent de bien illustrer les propriétés qui viennent d’être évoquées :

1. Les cartes à points. Leur intérêt est ici de visualiser facilement les nombres et manipuler des représentations signifiantes. Par exemple :

     
 
 
 
 

 

 

 

 

 

           Pour l’élève, il est essentiel que le nombre ne soit pas un simple code oral ou écrit, abstrait, mais corresponde à une vraie signification à partir de collections. Par exemple, pour un nombre de deux chiffres, il doit « voir » les dizaines et les unités. A cet effet, les cartes à points sont un outil privilégié permettant de voir les nombres avec leurs groupements de 10 unités (et plus tard de 100 unités).

2.       Le compteur.

Le rôle du compteur est d’aider l’élève à percevoir l’organisation de la suite écrite des nombres en prenant en compte d’emblée le caractère positionnel de la numération. En d’autres termes, alors que les cartes à points privilégient l’approche cardinale du nombre en visualisant les centaines, dizaines et unités, le compteur utilise l’aspect ordinal en faisant porter directement l’attention sur les différents chiffres d’un nombre et sur leur  organisation  dans une suite de plusieurs nombres successifs.

Par exemple, si le nombre 59 est affiché sur le compteur : 

le nombre suivant s’obtient en tournant d’une unité la roue de droite (on fait alors apparaître le chiffre 0). Le passage de 9 à 0 a pour effet de faire avancer la seconde roue à partir de la droite (chiffres des dizaines) d’une unité.

La bonne compréhension de ces principes facilite notamment la recherche du suivant et du précédent d’un nombre donné et, d’une manière générale, de l’écriture d’une suite croissante ou décroissante de nombres.

Remarque. Pour mémoire, nous rappelons ici les règles de fonctionnement d’un compteur :

-          la première roue à tourner est la roue de droite ;

-          lorsque la roue de droite passe de 9 à 0, on fait avancer d’une unité la deuxième roue ;

-          lorsque la deuxième roue passe de 9 à 0, on fait avancer d’une unité la troisième roue ;

-          etc.

 3. Le jeu du quadrillage.

Le rôle de ce jeu est de faire percevoir l’organisation de la suite écrite des nombres de 0 à 99 d’une manière globale et pas seulement locale. Le support de ce jeu est une grande grille de 100 cases, bien visible dans la classe, comportant d’une manière ordonnée les nombres de 0 à 99 ; chaque ligne est formée des 10 nombres d’une même « famille » : de 0 à 9, de 10 à 19, etc 

La règle du jeu est la suivante : des cases du quadrillage sont cachées (par exemple, avec des post-it). Les élèves doivent retrouver les nombres cachés et les dire ou les écrire (on peut avantageusement faire varier les deux modes de communication). Cette grille est aussi un support très utile pour trouver le suivant ou le précédent d’un nombre donné ou pour comparer des nombres (un nombre A est plus grand qu’un nombre B s’il est à droite de B sur la même ligne ou s’il se trouve n’importe où sur une ligne au-dessous de la ligne de B).

C. Les  nombres jusqu’à 100

           Tous les enseignants qui ont eu l’occasion de travailler avec des élèves du cycle 2 savent la difficulté que rencontrent certains pour maîtriser les nombres entre 70 et 100, et notamment pour savoir les lire et les écrire à partir de leur dictée ou leur écriture en lettres.  Cette difficulté est due à la complexité de notre système de numération orale.  Pour la numération orale française, des irrégularités gênantes apparaissent :

           - tout d’abord, les irrégularités de la seconde dizaine : onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize. On sait déjà qu’elles sont source de désagrément pour les enfants.

           - en second lieu, les irrégularités liées aux multiples de dix jusqu’à soixante : vingt, trente, quarante, cinquante, soixante. Pour les enfants, ces mots ne signifient pas d’emblée qu’il s’agit de nombres de dizaines. Ils doivent donc les apprendre et les confondent parfois avec les noms correspondants des unités.

           - la plus grande irrégularité provient des noms des nombres à partir de 70 jusqu’à 99. Nous utilisons alors un vestige d’une base « vingt » d’origine celte qui interfère ici avec la base « dix ». Il est à noter que cela n’est pas le cas pour nos voisins belges et suisses : ils emploient septante pour 70, octante ou huitante pour 80 et nonante pour 90.

            Jusqu’à 69, les écoliers français (comme leurs voisins européens) utilisent une numération orale de type exclusivement additif :

dix-sept, c’est « dix plus sept »

quarante-trois, c’est « quarante plus trois »

           C’est encore le cas jusqu’à 79, mais avec une irrégularité perturbante pour de petits écoliers à qui on enseigne qu’il faut toujours effectuer des groupements de dix ; après soixante-neuf, on ne comptabilise pas une nouvelle dizaine, mais on continue : soixante-dix, soixante et onze,… Cela est dû au fait qu’on prend déjà en compte la base « vingt » évoquée plus haut et qu’on fait maintenant des groupements de vingt. Soixante, c’est en fait « trois-vingt ».

            Ce n’est plus le cas à partir de 80. A partir de ce nombre et jusqu’à 99, notre numération orale est à la fois multiplicative et additive : quatre-vingt-six, c’est quatre fois vingt plus six. Il faudra attendre la fin de ce dernier groupement de « vingt » pour revenir à des bases plus cohérentes. Dès lors, on comprend que certains de nos élèves soient déroutés.

            Face à cette situation, des élèves ont beaucoup de mal à associer la numération orale et la numération écrite et, fortement perturbés, se contentent de traduire en chiffres ce qu’ils entendent en mots. Par exemple, voici une production d’un élève à l’entrée au CE2 (évaluation nationale du début CE2) : 

Ecris en chiffres :

          En conséquence, si l’on peut considérer que les nombres de 0 à 69, ainsi que leurs principales propriétés, sont acquises par une majorité d’enfants à la sortie du CP, il convient d’aborder les nombres à partir de 69 avec plus de précaution, dans la mesure où le champ numérique s’agrandit et surtout parce que la correspondance écrit-oral devient nettement plus délicate.  On insistera particulièrement sur la manière de lire les nombres en faisant apparaître certaines décompositions qui donnent un sens à la lecture de ces nombres. Par exemple, l’égalité 87 = 20 + 20 + 20 + 20 + 7 fournit une justification de la lecture « quatre-vingt-sept » qui correspond bien à « quatre fois vingt plus sept ». L’objectif principal visé dans les activités proposées aux élèves est que les différents codages (oraux et écrits) de ces nombres perdent leur caractère abstrait et arbitraire pour trouver un sens véritable. Nous avons voulu donner à l’élève la possibilité de s’y retrouver dans ces différents codes grâce à des tableaux récapitulatifs des nombres. Par exemple :

   

 Le but recherché est de permettre un décodage direct, à partir d’indices visuels, comme cela se fait pour la lecture.

           Nous avons déjà mis en évidence la nécessité de faire percevoir à l’élève les groupements de 10 unités qui conduisent à la constitution des dizaines et leur importance dans la compréhension de la numération.

            Ainsi, un nombre peut être désigné et représenté par des groupements. Il convient de comprendre que cette représentation n’est pas positionnelle : le nombre désigné par 2 dizaines et 7 unités peut tout aussi bien l’être par 7 unités et 2 dizaines. Il s’agit toujours du nombre 27.  Cette distinction est importante à faire percevoir aux élèves, le but final étant une bonne compréhension du rôle de chaque groupement et de la signification de chaque désignation d’un nombre. L’écriture positionnelle usuelle (écriture en chiffres, chacun d’eux devant être à sa place) est la plus élaborée et la plus succincte des écritures d’un nombre, mais c’est aussi la seule qui a une véritable nature positionnelle.

            Deux types d’activités peuvent être envisagées avec les élèves :

          1. Présenter des nombres avec l’indication de leurs groupements (en dizaines et unités), mais pas nécessairement dans l’ordre courant dizaines-unités.

Ceci a pour but d’inciter les élèves à être attentifs non seulement aux nombres indiqués, mais aussi à la valeur de ces nombres, c’est-à-dire à la nature des groupements associés (dizaines ou unités). Il ne suffit pas d’accoler simplement les deux chiffres dans l’ordre de présentation :

                         52  et non 25

            2. Résoudre des problèmes de « commandes », où l’on doit commander obligatoirement des paquets de dix .  Ceci a pour but d’approfondir la notion de dizaine (groupement de dix unités) et de faire rechercher dans un nombre le nombre de dizaines.

           Il faut temporiser pour introduire les signes < et > (la comparaison et le rangement des nombres ont été introduits dès la première unité d’apprentissage). En effet, beaucoup d’enfants savent désigner le plus grand de deux nombres tout en plaçant incorrectement le signe d’inégalité qui convient, en raison de la proximité visuelle des deux symboles < et >.

 

D. Les  nombres supérieurs à 100

 

           Les nombres supérieurs à 100 ont des caractéristiques nouvelles qui conduisent à prendre des dispositions particulières.

          1. Du point de vue des désignations orales de ces nombres.

           Il est incontestable que les difficultés de lecture orale des nombres sont surtout présentes pour les nombres inférieurs à 100. Cependant, pour les nombres supérieurs à 100, le  mot « cent »  est introduit pour leur désignation. Ce mot est précédé d’un  autre nombre qui le multiplie, sauf pour les nombres inférieurs à 200 :

Cent vingt-huit

Trois cent quarante-six.

           2. Du point de vue des désignations écrites.

           Les nombres supérieurs à 100 utilisent 3 chiffres dont il faut comprendre la signification en fonction de la position. La nouveauté est l’apparition de groupements de 10 dizaines, c’est-à-dire les centaines. Il s’agit de comprendre que les dénominations :

3 centaines, 4 dizaines,  6 unités

4 dizaines, 6 unités, 3 centaines

désignent toutes les deux le même nombre 346.

La compréhension fondamentale de l’aspect positionnel de notre numération se fait d’autant mieux que l’élève a maintes fois l’occasion de « construire » les nombres. C’est la raison pour laquelle  la carte « centaine » est introduite :

 Recto :                                                                  Verso :

 
 

 

           3. Du point vue de l’ordre

Pour comparer deux nombres, l’élève peut avoir recours à deux démarches :

- une démarche liée à l’aspect cardinal du nombre. Par exemple, 345 est plus grand que 169 parce que 345 a plus de centaines que 169 ; 169 est plus petit que 182 parce que 169 a moins de dizaines que 182 (ils ont le même nombre de centaines).

- une démarche liée à la suite des écritures des nombres (cette méthode est surtout valable lorsque les deux nombres sont assez proches). Par exemple, 192 est plus petit que 207 parce que, dans la suite des nombres, 192 est écrit (ou dit) avant 207.

           Il ne faut formaliser ni privilégier aucune de ces démarches et  les faire fonctionner par les élèves à chaque occasion de comparaison.

   

      Retour en haut de page

     Retour à la page principale