Construction des croix magiques

Ce travail est dû à Arsène DURUPT, amateur passionné de Mathématiques âgé de 88 ans en 2010. Nous saluons ici sa proposition remarquable. Pour toute précision complémentaire, le mieux est de lui envoyer un message (cliquer sur son nom).

                             

           Création Arsène DURUPT   2009   

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

    

    UNE ENIGME PHARAONIQUE

 

 

Keops , 2° Pharaon de la IV° dynastie, s’était déplacé pour observer ses architectes en réunion de travail, la réalisation de sa pyramide posait quelques problèmes. ( une pyramide est un tas de gros cailloux assemblés de telle sorte qu’il forme un ensemble en pointe pour faciliter l’écoulement de l’eau de pluie mais surtout, pour dissimuler la cachette qui contiendra les os du Pharaon avec ses objets usuels et un peu de nourriture, pour le cas ou il se réveillerait, «  selon le dieu auquel vous croyez, la nourriture est présente ou pas, ma religion n’a même pas prévu un sandwich »)

 

Kéops était d’humeur agréable devant l’avancement des travaux quand le grand Vizir vint l’informer que la date d’exécution des 35 « perceurs de frontières » était fixée au lendemain. ( Il s’agissait bien sûr d’énergumènes  sans passeports venus de l’étranger manger le pain des Egyptiens)

 

Et Alors ? dit le Pharaon .  

 

Majesté, je dois vous informer d’un fait troublant, alors que tous les condamnés pleurent, un seul rigole !

 

Qu’est-ce qui le fait rire ?

 

Il dit qu’on va supprimer la seule personne au monde capable de résoudre la construction des CROIX MAGIQUES , de ces croix magiques qu’il dessine sur le sable à l’étonnement de tous

 

Intrigué, le Pharaon  dit au Grand Vizir d’amener LARSEN puisque c’est ainsi qu’il se fait appeler.

 

De quoi dis-tu que tu es capable  de calculer que les autres ne  peuvent ? demanda dubitatif le Pharaon .

 

Majesté, je vois que près de vous se trouvent des gens qualifiés en calcul aussi, je les mets au défi de solutionner le petit problème suivant : il demande une craie et dessine sur le sol, une figure présentant 16 cases ou il faut ranger les nombres de 0 à 15 dans un certain ordre jusqu'à obtenir un total de 30 dans les alignements de 4 nombres ainsi qu’aux sommets des deux carrés.

 

Au premier « rabord », cela sembla  facile au Pharaon qui ordonna à ses architectes de solutionner cela rapidement.

 

Facile,  pas tellement puisqu’à midi rien n’était sorti de toutes ces lumières et le Pharaon qui commençait à regarder LARSEN autrement  décida d’aller se restaurer et ordonna à ses architectes d’en  avoir fini à son retour.

 

Les architectes, privés de repas cherchaient toujours, certains essayaient des solutions « au hasard » et ceux-là n’étaient pas sortis de l’auberge car, ( c’est une confidence de LARSEN, qui ici ne rigole pas mais rit sous cape ) il existe , cramponnez-vous :

 20 .922.789. 888. 000  façons différentes de placer 16 nombres sur cette figure !!!!!!! mais, chut ! n’en dites rien au Pharaon…..

 

 

Le Grand Vizir sentit grandir en lui le besoin de « considérer » LARSEN et le fit restaurer honnêtement par ses larbins

 

De retour après sa sieste le Pharaon laissa éclater son courroux devant l’absence complète de résultats et les mines penaudes de son personnel d’élite, il s’oublia jusqu'à les traiter de « TROP PAYES  » et « D’INCAPABLES » il ruminait pour savoir quelle décision s’imposait lorsque LARSEN venant à son secours lui dit :

 

Majesté, si vous mettez sur cette recherche 40 de vos meilleurs Architectes, il leur faudrait, pour essayer toutes les façons différentes, à raison d’une minute par solution :

I Million d’années à temps plein.

 

Le Pharaon était K.O debout , il comprenait que le condamné à mort ne plaisantait pas et connaissait son affaire !

 

La nuit portant conseil, le Pharaon reporta au lendemain la décision à prendre, ordonna de surseoir à l’exécution de LARSEN et de le bien traiter.

 

Merci Majesté de votre clémence, mais je ne veux pas que mon cas soit dissocié de celui de mes compagnons d’infortune et en cela, je suis intransigeant.

 

Cela grandit LARSEN à mes yeux, Vizir, reportez l’exécution !

 

Le lendemain, le Pharaon  pria le grand Vizir d’aller chercher LARSEN et de le conduire dans la salle du conseil ou sont prises les grandes décisions.

 

LARSEN, j’ai pris une grande décision, je vous nomme MINISTRE DES ARCHITECTES.

 

Majesté, si j’ai quelques mérites, rien ne justifie celui-là,  je n’ai  pas les qualités de vos ministres , je ne calcule ni mieux ni même aussi bien qu’eux mais j’ai une qualité qui m’a permis d’être là, humblement devant vous : LA REFLEXION !

 

Alors, vous serez le Ministre de LA REFLEXION !

 

Majesté, j’accepterai  cet honneur avec reconnaissance à la condition que mes camarades soient graciés et accueillis non en ennemis mais en amis.

 

Imaginez, Majesté l’apport de ces étrangers avec des connaissances qui vous échappent et qui enrichiront votre pays, il n’y a pas parmi eux que des « pousse brouettes », mais des Artisans, des Architectes, des Artistes capables d’apporter un sang nouveau dont vous auriez tort de vous priver.

 

LARSEN, tes paroles sont pleines de bon sens et d’emblée, j’adopte ta première décision de MINISTRE : Adoption des Etrangers et intégration dans la société selon leurs mérites.

 

On fit une fête grandiose, cela va de soi.

 

Restait au Ministre de la réflexion à expliquer le fruit de sa réflexion qui l’amena à :

 

                    LA CONSTRUCTION DES CROIX MAGIQUES

 

Imaginez  2 simples carrés superposés dont on aurait fait subir un quart de tour au carré supérieur, l’autre restant en place, on se trouverait en présence de notre FIGURE

qui présenterait 8 Pointes et 8 Intersections, soit : 16 emplacements ou figureront les 16 nombres ( de 0 à 15).

 

Proposition : pour des facilités de langage, je propose d’appeler :

 

 « LES ROUGES », les 4 nombres qui figureront aux sommets du carré supérieur.

 « LES VERTS »    , les 4 nombres qui figureront aux sommets du carré inférieur.

 « LES BLEUS »    , les 8 nombres qui figureront au centre de la figure.

 

 

 

 Après avoir essayé différentes stratégies plus ou moins décevantes, je suis arrivé à la conclusion que le nœud du problème se trouvait au centre et que ma stratégie devait s’employer à trouver parmi les 16 nombres : les 8 Bleus !   Lourde tâche !

 

Je vous fais grâce des explications qui à l’usage m’ont conduit à comprendre que ce centre entretenait des coalitions de deux nombres que j’ai réparties en 5 types :

 

   TYPES :     5/25   9/21  11/19  13/17  15/15.    Constatez le total de 30 partout.

 

QU’EST-CE QU’UN TYPE ?

 

Prenons pour l’exemple un Type 5/25

 

On appellera la figure TYPE 5/25 si la position au centre contient deux diagonales dont le total est 5 et deux dont le total est 25.

 

Les diagonales P/H et D/L  seront du même total : soit 5 soit 25.

Les diagonales  B/J et N/F  seront du même total : soit 5 soit 25.

 

AINSI SE DETERMINE LE TYPE !

 

Le total de 5   ne peut être composé que des nombres : 0+5 ou 1+4 ou 2+3

Le total de 25 ne peut être  composé que des nombres : 15+10 ou 14+11 ou 13+12

 

Je vais vous faire une confidence qui se révèlera très utile lors de la CONSTRUCTION :

 

 Prenez-en bien note sur vos tablettes d’argile :

 

J’ai fait la remarque que, dans chaque TYPE certains nombres étaient toujours absents des BLEUS :

 

Toutes les figures de TYPE  5/25  sont privées des nombres 6  7  8  9  dans les BLEUS

      «      «       «        «      «      9/21    «         «         «          «       3  12         «      «      « 

      «      «       «        «      «     11/19   «         «         «          «       2  13         «      «      « 

      «      «       «        «      «     13/17   «         «         «          «       1  14         «      «      « 

      «      «       «        «      «     15/15   «         «         «          «     3  6  9  12   «      «      «   

 

DEDUCTION facile : Dans une figure en construction qui aurait déjà le 6 parmi ses BLEUS, on peut être certain que cette figure ne sera pas construite dans le TYPE 5/25 ni dans le TYPE 15/15  etc…etc…pour les autres déductions !

 

Tout le monde suit bien ?  O.K. dirent-il en Egyptien de l’époque !

 

J’en profitai pour leur faire remarquer alors que je ne les connaissais pas, que, dans la vie il y avait :

 

Les CHERCHEURS, souvent instruits, compétents, rigoureux, un rien  méprisants.

Les TROUVEURS  souvent incultes, imaginatifs, bêtes et disciplinés, sioux rusés.

 

Nous allons passer à l’étape suivante .

 

Il est évident que si on pouvait désigner avec certitude les 4 Rouges et les 4 verts, les BLEUS seraient découverts sans effort.

 

Pour une première décision  de désignation de 4 ROUGES ,

 

il existe 1820 combinaisons différentes avec les nombres de 0 à15  pris 4 à 4,  mais il n’y a que 86 façons de combiner ces 4 nombres,  de telle façon que leur somme soit égale à 30 !

On a donc un choix limité à 86 mais en fait nous n’en retiendrons que 17.

 

 Il serait trop long d’expliquer ici comment se tri a été opéré ( voir dossier : LES FILTRES), mais retenez que seules ces 17 séquences de 4 ROUGES sont susceptibles de générer des figures Magiques :

 

0 5 12 13    0 7 9 14    0 8 9 13    1 4 12 13    1 6 8 15    1 6 11 12    1 8 9 12    2 3 10 15  

2 3 11 14    2 6 7 15    2 8 9 11    3  4  9 14    3 6 7 14    3 6 10 11    4 5 9 12    4 6 7 13

6 7  8   9   

 

Pour ma démonstration, je choisis  0  7  9  14   (Toujours  2 PAIRS + 2 IMPAIRS = 30)       

 

 

Ne voyant, pour désigner les 4 VERTS susceptibles d’accompagner les ROUGES dans cette aventure, aucune affinité ou évidence à choisir Pierre plutôt que Jacques, je suis

dans le plus grand embarras et si je ne trouve pas une astuce je vais devoir capituler.

 

DESIGNER LES 4 VERTS EST CAPITAL !!!!!

 

J’ai eu l’idée d’installer les éléments sous mes yeux :

 

            PAIRS    :        0    2    4    6   8   10   12   14

            IMPAIRS :    15   13  11   9   7    5     3     1       

 

En jetant un regard ci-dessus, sur les Pairs et les Impairs je remarque que, verticalement on peut lire LES COUPLES COMPLEMENTAIRES INVERSES :

 

                        0/15  2/13  4/11  6/9  8/7  10/5  12/3  14/1.

 

Cette inversion, je l’ai appelée, pour faire court : LA CULBUTE , je reconnais que c’est un peu idiot, mais rien ne m’est venu à la place .

 

Donc, grâce  à cette CULBUTE, si d’aventure, vous inversez tous les nombres d’une figure et les remplacez par ceux donnés par la CULBUTE, vous  obtiendrez une figure nouvelle qui sera également MAGIQUE.

 

Je viens là, de vous glisser un petit tuyau qui va nous servir astucieusement !

 

Ayons la curiosité de voir pour les 4 ROUGES, le fruit de la CULBUTE :

 

                                               0  7  9  14  =  15  8  6  1

 

A première vue, ces chiffres ne nous apprennent rien , mais la DEDUCTION  m’a enseigné ceci d’important, prenez-en bonne note.

 

IMPORTANT :

 

Les nombres issus de la CULBUTE, ont vocation à donner des BLEUS sauf  si  se trouvent  parmi eux des nombres  interdits parmi les BLEUS, ( différents à chaque TYPE !), ceux-ci, puisqu’ils ne peuvent être BLEUS seront évidemment  ROUGES ou VERTS !

 

A ce stade, nous considérons que  15  8  6  1 sont BLEUS sauf que ne connaissant pas le TYPE de la figure en construction, nous ne pouvons savoir s’il y a lieu d’ écarter les nombres interdits en BLEUS de ce TYPE, que nous ne connaissons pas.

 

Le dossier ( LA RECHERCHE DES VERTS) permet de déterminer le TYPE adéquat et il serait trop long ici d’en faire état , sachez donc que pour ce qui nous occupe, il s’agit du TYPE  13/17,  qui, lui, écarte toujours des BLEUS les nombres : 1 et 14

 

Donc, sur le produit de la CULBUTE : 15  8  6  1,  le nombre 1 ne pouvant être BLEU sera VERT puisqu’il ne figure pas dans les ROUGES qui sont déjà désignés,  le 14 est déjà dans les ROUGES,  les autres soit  15  8  6  seront BLEUS avec certitude et cerise sur le gâteau seront les piliers obligatoires pour  former les coalitions de deux fois 13 et deux fois 17 ce qui est la règle au centre de la figure de TYPE 13/17 ; ces coalitions seront :

 

15/2  8/5  6/11  il ne reste plus, dans les nombres disponibles pouvant convenir que 10/3 .

 

Ainsi étant en possession des ROUGES et des BLEUS, les VERTS sont découverts sans effort !!!!!

 

 

J’ajoute que, dans le dossier important qu’est,  LA RECHERCHE DES  VERTS ,

sont dévoilées et expliquées certaines anomalies qui sont  ce que sont les exceptions grammaticales à la langue Française qu’il serait trop long de développer ici.

D’autres dossiers attendent les plus motivés qui veulent comprendre la totalité des secrets  pointus et nombreux, ici,  non dévoilés.

 

Encore quelques INFORMATIONS  qui semblent évidentes à ceux qui savent observer mais qu’il est bon de signaler :

 

LES RECTANGLES formés par les lettres P B J H  puis N L D F  ainsi que N P H F et

B D L J  totalisent  30.

 

LES EQUIVALENCES :                    J + H  = O + C                 F + H  =  A + M

                                               P + B  = K + G                 L + J   =  A + E

                                               N + L  = C + G                 N + P   =  I +  E

                                               D + F   = O + K                B + D   = M + I

 

LES STRUCTURES      ( PAIRS/ IMPAIRS )

 

                        

Lorsque les nombres « ROUGES »                               

                                                                                          

qui sont opposés Nord/Sud ( A / I )  sont pairs   

         

La STRUCTURE est :  PAUL     

 

 

                                          PAIR                                

                                                                                         

                                                         

 

                                       PAIR

   

   Lorsque les nombres « ROUGES »                                

                                                                                            

qui sont opposés Nord/Sud ( A / I ) sont impairs

            

La STRUCTURE est : MARC

     

 

                                 IMPAIR

                                 

          

 

                                 IMPAIR                                                                                  

                                                           

 Lorsque les nombres «  ROUGES »                         

qui sont opposés Nord/Sud ( A / I ) sont Pair/Impair,

 

La STRUCTURE est : RENE       

 

 

                                 PAIR

 

          

 

                           IMPAIR                                                                                                                                                                                                                                 

 Lorsque les nombres « ROUGES »                                        

qui sont opposés Nord/Sud  (A / I )  sont Impair/Pair,   

 

La STRUCTURE est : JEAN

 

 

                            IMPAIR

 

       

 

                              PAIR

 

                                                                                                                                                                                                 

 A remarquer  qu’en position P/B,  se trouvent 2 PAIRS  (cas de PAUL et MARC)

 «         «                «         «          «     «        «       1 IMPAIR + I PAIR (cas de RENE et JEAN)

 

Je vais opter pour la construction  ou se trouvent 2 PAIRS en P/B , si ce n’était pas concluant,

Je réussirais avec l’autre solution, 1 Impair + 1 Pair.

 

 

Tout ceci est rébarbatif et je me demande si mon auditoire n’est pas en train de somnoler, il est bon de remettre au lendemain la CONSTRUCTION maintenant que nous disposons de la matière première.

 

Les Ingénieurs, qui avaient tous l’apparence extérieure d’une richesse intérieure , sauf les cancres au fond de la pièce, se débattaient avec un pépin d’importance, le poids des Blocs de chacun 12 Tonnes en granit  qui servent de plafond à la chambre du Pharaon pour sa dernière demeure est tel que des fissures inquiétantes sont apparues et, aux dernières nouvelles,  les montants qui supportent ce poids , présentent un déséquilibre de 2 ou 3 centimètres !!!!

 

Je vois bien que ceux du fond de la classe, ceux qui somnolaient, supputent que je pourrais peut-être faire les calculs à leur place, alors là non, chacun sa merde !

 

Imaginons une Pyramide qui se casse la gueule ou qui penche à droite ou à gauche et que dans son lit , le Pharaon se trouve avec les pieds plus hauts que la tête, cela ne ferait pas sérieux, je pourrais être une deuxième fois condamné à mort  et,  pensez aux touristes qui,  dans 4000 ans , viendraient voir l’ouvrage et diraient que si c’était pour voir ça, on avait déjà la tour de PISE.

 

Leur souci est d’importance, alors,  les élucubrations d’un ancien condamné à mort  leur passent un peu au dessus de la tête mais je suis leur Ministre, non de dieu !

 

Qu’ils écoutent attentivement ou non, je continue à expliquer comment j’ai construit une CROIX MAGIQUE  avec l’accumulation des connaissances précédentes qui vont être précieuses.

 

Nous sommes en possession des matériaux de construction :

 

ROUGES :    0  7  9  14

VERTS     :    1  4  12  13

BLEUS     :    8/5  3/10  6/11  15/2

 

                            CONSTRUCTION !

 

 

1°.-  Pour la ligne NORD comportant 4 nombres PAIRS, je choisis au hasard, parmi les BLEUS, 8 et 6 après m’être assuré que je trouverais parmi les 4 VERTS  2 nombres qui assurent le total de 30 que doit totaliser la ligne soit en VERTS 4 et 12.

 

2°.-  Je vais positionner définitivement en position P : 8  et ,  en  B ,  6 (la position inverse aurait  pu convenir également)

 

3°.-  Les Associés de 8 et 6 , respectivement 5 et 11 (puisque, je vous le rappelle nous sommes dans le TYPE 13/17)  seront placés définitivement,

 en  croisant , 11 en  J  et  5  en  H formant ainsi un rectangle totalisant 30 !

   

4°.-  Les couples complémentaires 3/10 et 2/15 ont vocation à occuper les diagonales

N/F ,  D/L. les pairs 10 et 2  postuleront, en respectant la STRUCTURE, pour L ou.

                           Les Impairs 3  et 15 postuleront pour la position  N ou D.

Souvenez-vous que le rectangle formé par  N P F H  doit totaliser 30 et que nous avons déjà logé 8 et 5 dans ce rectangle, il tombe sous l’évidence que 15 sera logé définitivement en  N  et  3  en  D. Il coule de source ensuite que  2 est libéré pour occuper F et 10 pour L.

 

Le CENTRE est ainsi constitué.

 

5°.- Pour loger les VERTS, c’est facile, nous hésitions entre 4 et 12 pour la position O essayons-les tour à tour pour comprendre que 4 occupera définitivement la position O

Et ensuite, les 3 autres VERTS se placent facilement !

 

6°.- Le placement des ROUGES est un jeu d’enfant :

 

La diagonale déjà occupée par  6 et  3,  appelle 2 nombres totalisant 21 pour faire 30, je ne vois parmi les ROUGES que 14 et 7.

La diagonale déjà occupée par 8 et 15 appelle 2 nombres totalisant 7, je ne vois parmi les ROUGES que 0 et 7.

Le 7 cité 2 fois formera le Pivot en  A  les autres ROUGES, s’enchaineront avec facilité…… C Q F D !

 

La FIGURE MAGIQUE apparut au moment ou le PHARAON entrait pour constater l’avancement de la démonstration.

 

Majesté, voici l’une des 288 Figures Magiques existantes et je suis en capacité de vous construire les 287 autres !

 

 

 

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