Mathématiques et feuille de papier

 

L'histoire du format des feuilles de papier

Extrait de « Le fabuleux destin de √2 »

de Benoît Rittaud 

Editions Le Pommier (http://txtnet.com/pommier/)
 

Consulter son site : http://www.math.univ-paris13.fr/~rittaud/RacineDeDeux

 Remarque. Dans tout ce qui suit, on appelle rectangle diagonal tout rectangle dont le rapport de la longueur à la largeur est égal à √2:

b = a√2

 

Le format 21 x29,7 qui a aujourd'hui valeur de norme dans beaucoup de pays ( à la notable exception des pays d'Amérique du Nord) a été conçu pour satisfaire à la définition du rectangle diagonal : en pliant une feuille en deux dans le sens de la largeur, on en obtient deux plus petites, dont le rapport des dimensions est le même que celui de la feuille initiale.

La plus ancienne trace écrite de cette possibilité d'utiliser cette règle géométrique pour définir le format des feuilles de papier semble être due à l'Allemand Georg Christoph Lichtenberg, un penseur et un scientifique du XVIIIème siècle. Dans une lettre adressée à Johann Beckmann le 25 octobre 1786, il indique avoir posé à un jeune Anglais l'exercice qui consiste à déterminer les dimensions d'une feuille de papier pour que celle-ci soit un rectangle diagonal.  « Ayant trouvé la valeur de ce rapport, écrit Lichtenberg, je voulus l'appliquer à une feuille de papier ordinaire à l'aide de ciseaux et constatai avec plaisir qu'elle possédait déjà ce rapport. » Lichtenberg ajoute que c'est précisément sur cette feuille qu'il écrit sa lettre et que « le petit côté du rectangle doit être au grand comme 1 : √2, autrement dit comme le côté du carré à sa diagonale.».  Il demande enfin à Beckmann s'il sait si l'existence de ce rapport dans la feuille qu'il utilise est le résultat d'un choix conscient de la part du fabricant ou s'il s'agit simplement d'un usage à l'origine indistincte (la réponse à cette question ne semble pas connue).

Les premières tentatives de légalisation de ce type de format ont pour cadre la Révolution française et les projets d'élaboration d'un cadastre, destiné à la levée de l'impôt sur la propriété foncière.

Les travaux du comité de l'ordinaire des finances sont menés avec l'aide du directeur général du cadastre, Gaspard de Prony. Ce dernier propose le recours au rectangle diagonal et, le 21 août 1792, le député de la Seine-et-Marne Jean-Baptiste-Moïse Jollivet expose à l'Assemblée nationale législative les raisons qui justifient le recours à ce type de format. Le même jour, l'Assemblée entend un rapport de l'Académie des Sciences sur la détermination de la mesure d'une autre norme à l'illustre destin : celle du mètre étalon.

Pour le mètre comme pour les formats de papier, l'élaboration du cadastre compte parmi les motivations premières du projet de réforme. S'agissant du cadastre, la question du format n'est pas liée aux questions d'échelle (l'échelle des plans cadastraux n'ayant pas de raison particulière d'être liée à la forme du papier sur lequel ils sont consignés) mais à un objectif de rationalisation et d'uniformisation pour ce qui s'annonce comme un projet de grande envergure. Une longue période d'atermoiements fera que ce ne sera finalement qu'en 1807, sous l'impulsion de Napoléon, que la mise en place du cadastre deviendra réalité, dans un esprit et sous une forme qui a d'ailleurs gardé son actualité. Le format des plans est le « grand aigle », soit 105 x 75 cm, voisin d'un rectangle diagonal sans en être véritablement un. (Depuis quelques années, l'informatisation du cadastre a rendu quelque peu obsolète l'usage d'une norme pour les formats des plans cadastraux sur papier.)

Revenons à la Révolution et au 21 août 1792. Les raisons invoquées à l'appui du rectangle diagonal comme format concernent principalement des impératifs d'économie et de facilité dans les calculs. « [...] quelle doit être la proportion entre les deux dimensions du papier, la hauteur et la largeur ? » demande le député. Après avoir exposé pourquoi « un long usage a proscrit la forme entièrement carrée », il explique que, sous Louis XIV où une première normalisation des formats avait été entamée, le résultat n'était pas satisfaisant, « parce que le ministère ou ses agents n'ont fait qu'approcher du principe, sans l'avoir saisi, [et] que les manufacturiers eux-mêmes, s'ils l'ont découvert, ne pouvaient contrarier ouvertement une décision ministérielle. » Entre alors en scène dans le discours la propriété mathématique attendue : « [...] il n'existe qu'une [forme] qui remplisse complètement les conditions du problème, c'est celle où la largeur du papier est moyenne proportionnelle entre la hauteur du papier et la moitié de cette même hauteur. »

À aucun moment Jollivet ne mentionne explicitement la racine carrée de 2 : la façon dont il envisage la question est que, une hauteur H de papier étant fixée, la bonne largeur est la valeur x telle que H/x = x/(H/2) (autrement dit, donc, x= H/√2). Mais le principe est donné, et avec lui sa justification principale : partager un rectangle diagonal en deux produit deux rectangles qui, eux aussi, sont diagonaux. Les intérêts les plus évidents sont qu'une telle norme limite les pertes et facilite la production de papier ; elle permet aussi de réduire la place nécessaire au stockage de documents.

À l'époque de la Révolution, un second intérêt d'ordre fiscal est prêté au format du rectangle diagonal : il s'agit de fixer avec équité les taxes applicables lors de la constitution de différents documents tels que les actes judiciaires. En effet, il semble raisonnable et objectif de fixer le prix du timbre (sous-entendu : fiscal) d'un acte en fonction de la taille de la feuille nécessaire à sa rédaction. Les différents formats en vigueur à l'époque n'étant pas dans des rapports d'aires simples, les prix des différents timbres manquaient de cohérence. Avec des rectangles diagonaux, tout devenait plus facile.

Malgré les recommandations exprimées par Jollivet, qui va jusqu'à proposer des dimensions explicites (ses formats, qu'il appelle A, B, C, a, b et c, correspondent respectivement à nos formats B1, B2, B3, A1, A2 et A3 – voir plus loin pour leur définition), les formats indiqués dans les « lois sur le timbre » promulguées année après année et qui modifient le tarif des timbres fiscaux demeurent inchangés. Il faut d'ailleurs attendre la loi du 14 thermidor, an IV (31 juillet 1796) pour que ces formats soient exprimés en centimètres et non plus en pouces.

Finalement, le Bulletin des Lois de la République du 13 brumaire de l'an VII de la République (3 novembre 1798) promulgue une nouvelle loi sur le timbre qui tient enfin compte de l'intérêt des rectangles diagonaux. Le format « grand registre » est désormais défini comme l'équivalent de notre format A2, le « moyen papier » comme le format A3, les « grand papier », « petit papier » et « demi-feuille » correspondent respectivement aux formats B3, B4 et B5. Malheureusement, cette brillante modernisation n'a pas connu le même succès que ces autres innovations majeures qu'ont été le mètre ou le kilogramme, également élaborés sous la Révolution française. Emportées par l'Histoire à l'instar du calendrier républicain, ces normes ne se sont jamais appliquées. Le format du Bulletin lui-même sur lequel la fameuse loi a été promulguée, environ 11,9 cm de large sur 18,2 cm de long, n'avait d'ailleurs rien d'un rectangle diagonal...

Rapidement oubliée en France, c'est en Allemagne que ressurgit l'idée de cette norme, d'abord au XIXème siècle chez le chimiste Wilhelm Ostwald, puis au début du XXème siècle sous l'impulsion de l'ingénieur berlinois Walter Porstmann. Les débats débouchent, en 1922, sur l'adoption de la norme DIN 476 (Deutsches Institut fur Normung), qui définit le format A0 comme un rectangle de 1 m2 de superficie et dont le rapport de la longueur à la largeur est de √2. Le format A1 s'obtient en partageant un rectangle de format A0 dans le sens de la longueur pour constituer deux rectangles égaux ; en partageant à nouveau l'un de ces rectangles selon le même principe, on obtient le format A2, puis le format A3, et ainsi de suite. Le format A4 correspond à un rectangle dont la largeur est de 21,0 cm et la longueur de 29,7 cm. La norme suit les recommandations de Porstmann. Ostwald, quant à lui, avait choisi de définir ses formats à partir d'un petit rectangle de dimensions 1 cm et 1,41 cm ; par doublements successifs, il définissait les formats plus grands.

La norme allemande s'est rapidement imposée un peu partout : la Belgique l'adopte dès 1924, elle est suivie année après année par un grand nombre de pays de par le monde, de l'Union soviétique en 1934 à l'Inde en 1957, en passant par l'Australie en 1974. En France, après l'expérience sans lendemain de la Révolution, la norme a été réintroduite en 1967. Depuis 1975, ce format constitue une norme internationale, qui porte le numéro ISO 216 (International Organization for standardization). Son extension dans toutes les régions du monde peut réjouir Lichtenberg qui, il y a plus de deux siècles, écrivait cet aphorisme sans se douter qu'il s'appliquerait si bien à lui-même : « Efforce-toi de ne pas être de ton temps. »

La norme actuelle des formats de papier présente divers avantages. Notamment, puisque chaque format est, en superficie, la moitié du format immédiatement supérieur, on en déduit un moyen simple de déterminer la masse d'un livre ou d'une feuille de papier, ce qui est utile notamment pour les envois postaux. Par exemple, un papier de qualité courante a une masse de 80 g/m2, et donc une feuille de format A0 de ce papier pèse 80 g ; en conséquence, une feuille de format A4, 16 fois plus légère, pèse 80/16 = 5 g.

L'avènement des machines à photocopier a conforté l'intérêt du rectangle diagonal comme format de référence. En effet, il est parfois utile de photocopier un document en en changeant la taille, qu'il s'agisse de l'agrandir ou de le réduire. Pour que la modification de taille n'altère pas la forme du document ainsi modifié, il convient que la réduction soit la même en largeur et en longueur, faute de quoi il y aurait des distorsions : par exemple, les lettres d'un texte deviendraient proportionnellement trop larges ou trop hautes. Il faut donc que les formats de papier eux-mêmes suivent cette règle ; c'est le cas des formats de la série A. Beaucoup de photocopieuses permettent aujourd'hui des modification de format, selon différents facteurs d'échelle, dont le facteur 141 % qui correspond à √2 et permet de passer du format An au format A(n-1). Le facteur 71 % est la réduction du format An au format A(n+1) et correspond à 1 /√2  (≈0,707).

Pour permettre qu'un tel agrandissement ou qu'une telle réduction se fasse en modifiant l'épaisseur du trait de façon cohérente, la taille des crayons pour le dessin technique est elle aussi normalisée (c'est la norme ISO 9175-1) selon une suite dont les rapports des termes consécutifs sont voisins de √2 : en millimètres, cette suite est : 0,13 - 0,18 - 0,25 - 0,35 - 0,50 - 0,70 - 1,00 -1,40 - 2,00. Notons qu'en revanche la taille et l'épaisseur des caractères saisis sur nos traitements de textes n'ont pas encore fait l'objet d'une normalisation. Comme l'a noté l'informaticien Markus Kuhn, les concepteurs de ces logiciels, américains pour la plupart, ignorent les vertus du format A4 et de ses dérivés ; leur capacité à imposer de fait leurs propres normes, même peu cohérentes, peut ainsi faire craindre que ce ne soit pas le système objectivement le meilleur qui l'emporte à terme. Il convient de ne pas négliger l'importance de ce type de débat.

À eux seuls, les formats de la série A ne permettent pas de couvrir tous les besoins pratiques. Tout d'abord, il arrive que le besoin se fasse sentir d'utiliser des feuilles plus grandes que celles du format A0. Pour répondre à ce besoin ont été définis les formats 2A0 et 4A0, qui correspondent à ce que l'on pourrait aussi noter « A(-1) » et « A(-2) ». Il s'agit de rectangles diagonaux dont l'aire est de 2 m2 pour le 2A0 et de 4 m2 pour le 4A0.

D'autres normes complémentaires ont été fixées pour disposer de formats plus variés, pour l'édition et la bureautique notamment : les principaux sont ceux des séries B et C (il en existe d'autres, notamment au Japon). Les rectangles de la série B, qui servent notamment pour des journaux et des livres, sont des rectangles diagonaux construits par partages successifs exactement comme la série A. La différence entre les deux séries tient à ce que les dimensions du format B0  sont de 1 000 x 1 414 millimètres (contre 841 x1 189 pour le A0).  Ce choix d'une largeur de 1 000 pour le format B0 a pour conséquence le fait suivant, que le lecteur pourra démontrer : la longueur du rectangle correspondant au format B n est égale à la moyenne géométrique de celle du format A n et de celle du format A(n-1) (même chose pour la largeur). C'est ainsi que le facteur d'échelle à appliquer pour, disons, photocopier un original au format A4 et obtenir une copie au format B4 est le même que pour passer d'un format B4 à un format A3. Un calcul montre que ce facteur est égal à √√2, la racine quatrième de 2, soit environ 1,19 (le facteur 119 % se retrouve sur certaines photocopieuses, ainsi que le facteur inverse, 84 %). Notons que la valeur √√2 correspond aussi à la longueur du rectangle A0.

Remarque. La moyenne arithmétique de deux nombres positifs a et b est (a + b):2; la moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est la racine carrée de ab (√ab)

Les dimensions des rectangles de la série C, quant à eux, se déduisent de celles des formats A et B de la façon suivante : la longueur du rectangle du format C n est la moyenne géométrique de celle du format A n et de celle du format B n (même chose pour sa largeur). Les formats de la série C correspondent donc eux encore à des rectangles diagonaux. La série C est notamment utilisée pour dimensionner les enveloppes. Le format C4 correspond aux enveloppes « grand format », le format C5 aux enveloppes « demi-format ». Quant au format C6, dont les dimensions sont de 114x162 millimètres, c'est celui de nos enveloppes courantes, dans lesquelles se glisse si bien un rectangle du format A6, celui-là même qui s'obtient en pliant en quatre une feuille de format A4.

Si cette palette de formats permet de répondre à l'essentiel des besoins de la vie courante, il en existe bien entendu beaucoup d'autres, qui sont loin d'être tous des rectangles diagonaux. Dans l'édition par exemple, des considérations esthétiques aussi bien que la nécessité de se démarquer conduisent à l'utilisation de formats très divers.

 

Retour en haut de page

Retour à la page principale