Les cartes magiques

 

Ces jeux de cartes peuvent fournir l'occasion d'activités de calcul mental avec des élèves de cycle 2 et de cycle 3 de l'école primaire. Leur réalisation est très simple et leur utilisation est expliquée ci-dessous, avec les justifications mathématiques.

 

bullet

Jeu de cartes n°1

Le principe est que chaque nombre entier non nul s’écrit de manière unique comme la somme de puissances de 2, autrement dit qu’il s’écrit d’une manière unique en base deux.

Les puissances de deux sont :

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,…

Par exemple :

100 = 64 + 32 + 4     127 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

 

Voici les cartes pour les nombres de 1 à 100 :

 

  Comment utiliser ces cartes?

Demander à une personne de choisir un nombre compris entre 1 et 100, sans communiquer son choix. Présenter les cartes et demander de sélectionner toutes les cartes sur lesquelles se trouve le nombre choisi.

Il est alors facile de retrouver le nombre : il suffit d’additionner les nombres inscrits en rouge sur les cartes sélectionnées.

Par exemple, le nombre 100 se trouve sur les cartes :

 

 Comme nous l’avons vu : 100 = 64 + 32 + 4

  

bullet

Jeu de cartes n°2

 

Le principe s’appuie cette fois sur les nombres de Fibonacci. Léonard de Pise, dit Fibonacci,  naît en 1170, vraisemblablement à Pise. Son père occupant un poste diplomatique, il le suit très tôt à l'étranger et reçoit son éducation en Afrique du Nord. Durant ces voyages, il s'intéresse et accumule quantité de données sur les systèmes mathématiques de ces pays. De retour en Italie en 1202, il publie ces données dans "Liber Abaci". Cet ouvrage introduit au monde européen l'arithmétique arabe, ainsi que le système de positionnement décimal arabe-hindou.

La suite de Fibonacci est la suite F(n) définie de la manière suivante :

F(1) = 1,  F(2) = 1,  ...,     F(n+1) = F(n-1) + F(n)

Cela donne les nombres de Fibonacci :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,  … 

En calculant le quotient de 2 nombres consécutifs dans la suite de Fibonacci, on obtient une suite convergeant vers le nombre d'or  ( 1, 618...):

 

= 1,

 

= 2, 

 

= 1,5,

 

= 1,666...,

 

= 1,6,

 

= 1,625,

  

= 1,61538...

         

On démontre que tout nombre entier s’écrit de manière unique comme une somme de nombres de la suite de Fibonacci non consécutifs, si on prend les nombres de Fibonacci à partir de F(2).

 

Par exemple, 100 = 89 + 8 + 3

 

Voici les cartes pour les nombres de 1 à 100 :

 L’utilisation des cartes se fait selon le même principe que pour le jeu n°1.

  

bullet

Jeu de cartes n°3

 Le principe s’appuie cette fois sur les nombres de Lucas. Edouard Lucas (1842-1891) est né à Amiens et fit une carrière remarquable d’enseignant et de mathématicien au cours de laquelle il occupa la chaire de Mathématiques Spéciales du lycée de Moulins sur Allier d’avril 1872 à septembre 1876. Il est connu par ses travaux en théorie des nombres et aussi  pour l'invention de quelques jeux comme le baguenaudier et les tours de Hanoï, le nom du soi-disant importateur du jeu était N. Claus de Siam (anagramme de Lucas d'Amiens). Il publie plusieurs livres sur les mathématiques et les quatre fameux tomes des récréations mathématiques.

La suite de Lucas est la suite L(n) définie de la manière suivante :

L(1) = 2,  L(2) = 1,  L(3) = 3,  ...,     L(n+1) = L(n-1) + L(n)

Cela donne les nombres de Lucas :

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322,  … 

En calculant le quotient de 2 nombres consécutifs dans la suite de Lucas, on obtient une suite convergeant vers le nombre d'or  ( 1, 618...):

 

= 3,

 

= 1, 333…,

 

= 1,75, 

 

= 1,571428...,

 

= 1,63636…,

 

= 1,6111…,

   

= 1,6206...

       

On démontre que tout nombre entier s’écrit de manière unique comme une somme de nombres de la suite de Lucas non consécutifs.

Par exemple, 100 = 76 + 18 + 4 + 2

Voici les cartes pour les nombres de 1 à 100 :

 

 

L’utilisation des cartes se fait selon le même principe que pour le jeu n°1.

 

bullet

Jeu de cartes n°4

Le principe est que chaque nombre entier non nul s’écrit de manière unique comme la somme ou la différence de puissances de 3. Cela provient du fait que tout nombre entier s’écrit d’une manière unique en base trois.

Les puissances de trois sont :

1, 3, 9, 27, 81, 243, …

Par exemple :

100 = 81 + 27 - 9 + 1    121  = 81 + 27 + 9 + 3 + 1

 

Voici les cartes pour les nombres de 1 à 100 :

  

 

Comment utiliser ces cartes?

Demander à une personne de choisir un nombre compris entre 1 et 100, sans communiquer son choix. Présenter les cartes et demander de sélectionner toutes les cartes sur lesquelles se trouve le nombre choisi. Avec ces cartes, faire deux paquets: le paquet des cartes où le nombre est écrit en bleu (on l'appellera le paquet bleu) et celui des cartes où le nombre est en rouge (on l'appellera le paquet rouge).

Il est alors facile de retrouver le nombre : pour le paquet bleu, additionner les nombres soulignés et faire de même pour le paquet rouge; puis soustraire les deux nombres obtenus.

Par exemple, le nombre 100 se trouve sur les cartes suivantes:

- Paquet bleu:

- Paquet rouge:

 

1 + 27 + 81 = 109

109 - 9 = 100

Remarque.

Le problème peut se poser d'une manière différente à propos de la pesée d'objets sur une balance à deux plateaux. Si on dispose de masses marquées de 1g, 3 g, 9g, 27 g et 81 g, chacune en un seul exemplaire, il est toujours possible de peser, au gramme près,  un objet d'un poids au plus égal à 121g avec ces masses marquées, étant entendu qu'on peut en placer sur le plateau qui contient l'objet.

Par exemple, la balle ci-dessous pèse 100 grammes:

 

Ce problème avait déjà été posé par Claude-Gaspard BACHET de MEZIRIAC (1581-1638) auteur en 1612 des "Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres"

 

"Etant donnée telle quantité que l’on voudra pesant un nombre de livres depuis 1 jusques à 40 inclusivement (sans toutefois admettre les fractions), on demande combien de poids pour le moins il faudrait employer à cet effet. "

Ce qu'on peut reformuler ainsi: Trouver une série de poids avec lesquels on puisse faire toutes les pesées en nombre entier depuis 1 jusqu'à la somme des poids employés, cette somme étant la plus grande possible relativement au nombre de poids.
 

Solution:

S’il n’y a que deux poids a et b, par exemple a < b, on peut certes peser b + a, mais on doit aussi peser b + 1 qui lui est inférieur ou égal ; donc a = 1 : s’il n’y a que deux poids, l’un d’eux est forcément 1.

Le poids suivant est 3 : car avec 3 l’on pèse aussi 2 (3 d’un côté de la balance, 1 de l’autre coté) et 4. Tandis qu’avec 2 (et 1 qu’on a déjà) on ne peut peser 4, donc 3 est plus avantageux. D’autre part on ne peut sauter à 4  dès le deuxième poids, car avec 1 et 4 on aurait certes 3 (4 d’un côté de la balance, 1 de l’autre coté) mais il serait impossible d’avoir 2. Il en va de même pour tout poids supérieur à 4, qui ne permet pas de peser 2, même par différence. Donc le second poids est 3.

De proche en proche on peut ainsi démontrer que les quatre premiers poids sont 1, 3, 9, 27 : ce sont ces quatre poids qui permettent d’aller jusqu’à 40 (égal à 27 + 9 + 3 + 1) et le problème posé par Bachet est résolu. Sachant qu’on peut peser par différence entre les plateaux, par exemple 19 se pèse avec 27 et 1 d’un côté, 9 de l’autre.

La solution générale est, on l’a compris, les poids de type 3n ; les n premiers permettent de peser jusqu’à S = 1 +…+ 3n ; le poids suivant dont on a besoin pour peser est 2S+1, on obtient alors tous les poids entre (S+1) et (2S+1) par différence de pesée sur les plateaux.

Or, S = ½ (3n+1 – 1) (multipliez par 3 : 3S = S +3n+1 – 1) : et donc le poids suivant (2S+1) c’est bien 3n+1; S étant la  dernière pesée possible avec les n premiers poids, on a besoin du poids suivant pour continuer ; ainsi la pesée suivant S, soit ½ (3n+1 +1) s’obtient en mettant 3n+1 d’un côté, tous les autres poids de l’autre [on pèse 3n+1 – S  = ½ (3n+1 +1) ]
 

Le texte original de cette démonstration se trouve à l'adresse: http://www.maths-et-physique.net/article-24670903.html

 

RETOUR AU SOMMAIRE GENERAL